Reflexividad de $\ell^p$

Question

Estoy teniendo malas dificultades para entender cómo probar que $\ell^p$ con $1<p<\infty$ son espacios reflexivos. Todos los textos que he consultado dan eso como un resultado trivial porque "observando que $(\ell^p)^{\ast\ast} = ((\ell^p)^\ast)^\ast$ , $\ell^q$ es isomorfo a $(\ell^p)^\ast$ y $\ell^p$ es isomorfo a $(\ell^q)^\ast$ entonces $(\ell^p)^{\ast\ast}$ es isomorfo a $\ell^p$ y el resultado se deduce trivialmente".

Tal vez sea trivial para ti, ¡libros! Quiero mostrar formalmente que la aplicación canónica $J_{\ell^p}:\ell^p \rightarrow (\ell^p)^{\ast\ast}$ es subjetivo. Lo he intentado durante horas pero nada, estoy bloqueado.

Que sea $j_p: \ell^q \rightarrow (\ell^p)^\ast$ y $j_q: \ell^p \rightarrow (\ell^q)^\ast$ los isomorfismos que tengo.

Que sea $z \in (\ell^p)^{\ast\ast}$ . Quiero encontrar un $x \in \ell^p$ tal que $J_{\ell^p}(x)=z$ es decir $\langle z,x'\rangle=\langle x',x\rangle$ por cada $x' \in (\ell^p)^\ast$ .

Probablemente habrá muchos " $j_p, j_q, j_p^{-1}, j_q^{-1},J_{\ell^p}$ "pero no tengo ni idea de cómo elegirlos. Se agradece mucho la ayuda. ¡Gracias!

Answer 1

Esta es la respuesta que he desentrañado:

Dejemos que $z \in (\ell^p)^{\ast\ast}$ . Quiero demostrar que existe $x \in \ell^p$ tal que $\langle z,f\rangle=\langle f,x \rangle$ por cada $f \in (\ell^p)^\ast$ .

Sé que existen los isomorfismos:

$j_p: \ell^q \rightarrow (\ell^p)^\ast$ y $j_q: \ell^p \rightarrow (\ell^q)^\ast$

Ahora, arregla $z \in (\ell^p)^{\ast\ast}$ .

$\langle z, f\rangle = \langle z, j_p(y)\rangle$ para algunos $y$ en $\ell^q$ .

Defino $g(y)=\langle z, j_p(y)\rangle$ . Se ha visto que $g$ es un elemento de $(\ell^q)^\ast$ entonces

$\langle z, f\rangle = \langle z, j_p(y)\rangle = \langle g, y \rangle$

Siendo un elemento de $(\ell^q)^\ast$ el número $\langle g, y \rangle$ puede representarse como $\sum_{k=1}^\infty x_ky_k$ para algunos $x \in \ell^p$

Ahora arregla eso $x$ . Esta suma, $\sum_{k=1}^\infty x_ky_k$ puede verse como una función $u$ en $\ell^p$ descrito por $j_p(y)$ .

Entonces $u=f$ y $\langle z, f\rangle = \langle z, j_p(y)\rangle = \langle g, y \rangle = \sum_{k=1}^\infty x_ky_k = \langle f,x \rangle$ como yo quería.

${}$

Ahora la respuesta me parece correcta, pero sigo un poco confundido porque me gustaría evitar mezclar el $\langle \cdot, \cdot \rangle$ con la notación de suma. Y se agradecen algunas sugerencias para evitarlo.

Después me gustaría entender por qué la respuesta proporcionada por Adam Hughes es rigurosa: por qué afirma que su $f_p: (\ell^q)^*\to (\ell^p)^{**}$ ¿es la igualdad un isomorfismo? Efectivamente se necesita el isomorfismo $j_p: \ell^q \rightarrow (\ell^p)^\ast$ para demostrar que es el isomorfismo de igualdad, pero ¿cómo? Y entonces, reconoció que su $f_p\circ f_q$ es un isomorfismo de $l^p$ a $(l^p)^{\ast\ast}$ ¿por qué se dice que es igual al isomorfismo canónico?

Soy lento en la comprensión... ¡Lo sé! :-p

Answer 2

Así que tienes los mapas canónicos:

$$\begin{cases} f_q: \ell^p\to (\ell^q)^* \\ f_p: (\ell^q)^*\to (\ell^p)^{**}\end{cases}$$

que son los isomorfismos entre $\ell^p$ y $(\ell^q)^*$ y $\ell^q$ y $(\ell^p)^*$ respectivamente. Entonces sólo hay que escribir $f_p\circ f_q=j_p:\ell^p\to (\ell^p)^{**}$ .