Triángulo y su circumcircle

Question

Deje $ABC$ ser un triángulo y $\Gamma$ de su circunferencia circunscrita. En los lados $AC$, $BC$ encuentra puntos respectivamente $E$, $F$ tal que $CE=BE$ y $CF=AF$. $CM$ es una mediana del triángulo $EFC$. Mostrar que la línea $CM$ pasarlos punto de $K$ que es el punto donde se reúne tangentes a un círculo en $\Gamma$ en puntos $A, B$.

Aquí está mi dibujo, sé que $E, F, A, B$ se encuentra en un círculo común porque triángulo $EFC$ $ABC$ son similares, pero no sé qué hacer ahora.

Answer 1

Debido a $\triangle AFC$ $\triangle BEC$ son isósceles, tenemos $$\angle C \cong \angle CAF \cong CBE$$

(Tenga en cuenta que $\angle C$ es necesariamente aguda.) Por otra parte, las bisectrices de $\angle AEB$ $\angle BFA$ crear más de cuatro copias de $\angle C$. Que dos de estos ejemplares se $\angle HEA$ $\angle HFB$ implica que el $\square HEFC$ es un paralelogramo, las diagonales de que biseca el uno al otro. Por lo tanto, $\overline{CH}$ pasa a través de $M$.

Queda por demostrar que $H$ coincide con $K$.

Tenga en cuenta que $\angle EHF$ es otra copia de $\angle C$ (como opuesto al ángulo en el paralelogramo). Desde $\angle EAF$ $\angle EBF$ son también los puntos $H$, $A$, $B$ son concyclic con $E$ $F$ (debido a que sobrepasan el mismo ángulo con acordes $\overline{EF}$).

Esto implica que $\angle ABH$ (el cual debe ser congruente a $\angle AFH$, ya que ambos sobrepasan acorde $\overline{AH}$) es también una copia de $\angle C$; asimismo, $\angle BAH \cong \angle C$.

Vemos, entonces, que el $H$ es el vértice de la[*] triángulo isósceles con base segmento de $\overline{AB}$ y la base de ángulos congruentes a $\angle C$. Esta descripción también se adapta a $K$ (por qué?), así que los puntos deben de coincidir.

---

[*] Hay, por supuesto, dos de tales triángulos isósceles con base $\overline{AB}$. "El" triángulo en cuestión es el que está en el lado opuesto de $\overleftrightarrow{AB}$$C$. (Tenga en cuenta que $\angle C$'s de la agudeza es la clave para hacer esta distinción.)

Answer 2

(Estos son los pasos completos, solo tiene que completar en el menor de los detalles.)

Paso 1: Mostrar que $AEFBK$ es contra cíclico, como el dibujado en el diagrama. Podría ser más fácil demostrar que $O$, el centro de $\Gamma$, también se encuentra en este círculo.

Paso 2: Mostrar que $EF=KB=KA$, porque cada uno de ellos sobrepasan el mismo ángulo en este círculo.

Paso 3: Mostrar que $KE \parallel BF$$KF \parallel EA$.

Paso 4: por lo tanto muestran que $KECF$ es un paralelogramo.

Por lo tanto $CK$ biseca $EF$, lo $CKM$ es una línea recta.