Inversa de la suma de la inversa de dos matrices

Question

Necesito calcular $ (A^{-1} + B^{-1})^{-1} $ . Ambos $A$ y $B$ son simétricos y $A$ es invertible y PSD. Ya sé $B^{-1}$ y $A$ pero no tengo $A^{-1}$ y $B$ . ¿Existe una fórmula de cálculo que evite dos inversiones?

EDITAR:

Otra cuestión relacionada es si hay situaciones (por ejemplo $A$ y $B$ tienen propiedades adicionales) donde es posible evitar ambas inversiones y bajo qué condiciones.

Como propiedades adicionales considere que también se $B$ junto con $A$ y $B^{-1}$ y que $B$ es invertible y PSD como $A$ . Además, ambos $A$ y $B$ son matrices cuadradas. Con estas propiedades, ¿existe un formulario (o incluso una aproximación) para evitar las dos inversiones?

Answer 1

Usted tiene $(A^{-1}+B^{-1})^{-1} = ((I+B^{-1}A)(A^{-1}))^{-1} = A (I+B^{-1}A)^{-1}$ Así que si ya tiene $B^{-1}$ Sólo se necesitan dos multiplicaciones más, una suma y una inversión.

Esto sólo requiere $A,B, A^{-1}+B^{-1}$ para ser invertible.