Dado $K(\alpha)/K$ y $K(\beta)/K$ extensiones disjuntas con al menos una de ellas de grado impar entonces $K(\alpha,\beta)=K(\alpha\beta)$

Question

Tengo problemas con este ejercicio

Que sea $K(\alpha)/K$ y $K(\beta)/K$ extensiones disjuntas con al menos una de ellas de grado impar. Demostrar que $\alpha\beta$ es un elemento primitivo para la extensión $K(\alpha,\beta)/K$ .

Algunas de mis ideas fueron

• Demostrar que $K(\alpha,\beta) \subset K(\alpha\beta)$ o que $K(\alpha) \subset K(\alpha\beta)$ .

• Usar eso en esta situación $K(\alpha)=K(\alpha^2)$ .

• Intenta relacionar los polinomios irreducibles a partir de las extensiones implicadas.

No he encontrado nada útil. ¿Puede ayudarme?

Gracias de antemano.

Answer 1

Esto es falso - un contraejemplo es dado por $ \alpha = \sqrt[3]{2} $ , $ \beta = \sqrt[3]{3} $ , $ K = \mathbf Q $ . Los campos $ \mathbf Q(\sqrt[3]{2}) $ y $ \mathbf Q(\sqrt[3]{3}) $ se cruzan trivialmente (se deja como ejercicio), son ambas de grado $ 3 $ en $ \mathbf Q $ pero $ \alpha \beta = \sqrt[3]{6} $ es de grado $ 3 $ en $ \mathbf Q $ por lo que no es un elemento primitivo de la extensión $ \mathbf Q(\alpha, \beta)/\mathbf Q $ que es de grado $ 9 $ .