Suma de términos de una secuencia

Question

La pregunta que estoy tratando sigue así

"Considerar la secuencia de un_n dado por $$a_1 = \frac{1}{3}$$ $$a_{n+1} = a_n^2 + a_n$$ Vamos $$S = \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + ... + \frac{1}{a_{2008}}$$ Entonces [S] es igual a _______. (donde [.] representa el mayor entero de la función)

Por favor, tenga en cuenta que no he aprendido todavía la convergencia y la divergencia de la serie, y por lo que cualquier ayuda en la formulación de una solución de no uso de los temas antes mencionados, se agradecería.

He probado el cálculo de los valores hasta $a_5$ pero no han sido capaces de deducir un patrón.

Answer 1

Creo que usted incluso no necesita un patrón para resolver esto. Voy a resolver esto mediante el uso de las desigualdades en su lugar.

Se puede calcular que $a_2=\frac{4}{9}$; $a_3=\frac{52}{81}$; $a_4=\frac{6916}{6561}$; $a_5=\frac{93206932}{43046721}$, pero esto no termina aquí.

Yo uso una calculadora y saber que $5.21<\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_5}<5.22$ (rango aproximado)

También se $a_5=\frac{93206932}{43046721}$ implica $1<2.165<a_5<2.166$, lo $2.165^2+2.165<a_6<2.166^2+2.166$ o $6.852<a_6<6.858$, esto continúa por $53.801<a_7<53.891$$2948.348<a_8<2958.131$$8695704.277<a_9<8753497.145$.

Debido a esto y a $\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_5}>5.21$, llegamos a la conclusión de que $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_9}>5.21+\frac{1}{6.858}+\frac{1}{53.891}+\frac{1}{2958.131}+\frac{1}{8753497.145}>5.3747$

Tenga en cuenta que todos los números son positivos, por lo que podemos concluir que $S = \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + ... + \frac{1}{a_{2008}}>5.3747$.

También con $\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_5}<5.22$, llegamos a la conclusión de que $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_9}<5.22+\frac{1}{6.852}+\frac{1}{53.801}+\frac{1}{2948.348}+\frac{1}{8695704.277}<5.3849.$

Obviamente, $\frac{1}{a_9}>\frac{1}{a_{10}}>\frac{1}{a_{11}}>...>\frac{1}{a_{2008}}$ porque $a_9<a_{10}<a_{11}<...<a_{2008}$ y también ha $a_9>8695704.277$, lo $S = \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + ... + \frac{1}{a_{2008}}<\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_9}+\frac{1}{a_9}\times 1999<5.3849+\frac{1999}{8695704.277}$ o $S<5.386$.

Se combinan con los de arriba, vamos a tener $5.3747<S<5.386$ o $[S]=5$.