¿Cuántas veces hacen un par de anillo de las campanas están suficientemente que se escuchan como una?

Question

Este es un problema del libro: Recreaciones en la teoría de los números por Albert Beiler.

El problema es este: tienes 2 campanas $B_1,B_2$.

$B_1$ anillos de todos los $\frac{4}{3}$ segundos, mientras que $B_2$ anillos de todos los $\frac{7}{4}$segundos.

Cuántos golpes se oyen durante 15 minutos si 2 trazos siguiendo cada uno de los otros dentro de un intervalo de $\frac{1}{2}$ segundo o menos se percibe como un sonido?

No estoy seguro de cómo formalizar a este problema en un enunciado matemático.

Desde $\frac{4}{3} = \frac{16}{12}$$\frac{7}{4}=\frac{21}{12}$, calcular el mínimo común múltiplo de a $(16,21)=336,$ llegué a la conclusión de que $B_1$ $B_2$ sonará exactamente a la misma hora después de $28$ segundos. En este intervalo, $B_1$ tendrá sonó $21$ veces mientras $B_2$ $16$ veces, así que si puedo encontrar cómo muchas veces en este intervalo, tanto en $B_1$ $B_2$ accidente cerebrovascular dentro de $\frac{1}{2}$ segunda, podría obtener el número total de trazos que se escuchó durante todo el periodo, pero no estoy seguro de cómo hacer esto sin explícitamente la búsqueda de manual.

Hice el cálculo y se encontró que el total de trazos de oído en un 28 segundo período es $24$, y se reúnen $12$ veces. Puedo obtener la respuesta correcta, pero me gustaría saber si hay una forma menos tediosa manera de encontrar la respuesta

Cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

Vamos a hacerlo más fácil, por el bien de la lluvia de ideas, vamos a reescribir la pregunta multiplicando todo por $12$. Una campana suena cada $16$ segundos y el segundo cada $21$ segundos y queremos averiguar con qué frecuencia, a continuación, el anillo dentro de $6$ segundos cada uno durante una $336$ segundo ciclo.

Esto es más una cuestión de cómo a menudo que no.

Necesitamos encontrar a veces cuando la $16m - 21n > 6$$21(n+1) - 16(m) > 6$. Que manera de escuchar el $m$th timbre de la $16$ segunda campana. O tenemos que encontrar la $21n - 16m > 6$$16(m+1) - 21n > 6$. Que manera de escuchar el $n$th timbre de la $21$ segunda campana.

El primero es decir $16m \equiv 7,....,14\mod 21$. En el $336$ segundo ciclo de Cada una de las $16m \equiv k \mod 21$ ocurre exactamente una vez para que esto ocurra $8$ ( $21$ ) de veces. (El resto de la $13$ campanadas en el plazo de seis segundos de la otra campana.)

Que más tarde es decir $21n \equiv 7,8,9\mod 16$. Esto ocurre $3$ ( $16$ ) de veces. (El resto de la $13$ campanadas en el plazo de seis segundos de la otra campana.) Así, en el $336$ segundos oímos las campanas claramente $8+3 =11$ veces. Y del resto de las $16-3 = 13$ campanadas de las veces que el más rápido de la campana y el número restante $21 - 8= 13$ campanadas de la más lenta de la campana, escuchamos dos campanadas como uno. Así que en un $336$ segundo ciclo escuchamos las campanas claramente $11$ veces y como un $13$ veces.

Así que esa es nuestra $336$ segundo ciclo.

Ahora en el $180*60= 10800$ segundos tenemos $32 \frac {48}{336}$ ciclos. Por lo que oyen $32(11+13)$ más sin embargo muchos escuchamos en $48$ segundos.

En $48$ segundos escuchamos la $16$ $21$ campanas como uno. Entonces escuchamos a los $32$ segunda campana por sí mismo y, a continuación, el $42$ e las $48$ como uno.

Por lo que oyen $32(11+13) + 3=771$ trazos.

[Reescribir cada cosa por encima de la sustitución de la palabra "segundo" con "twelth segunda unidad".]

Answer 2

En $28''$ bell $B_1$ anillos de $21$ a veces, y su sonido abarca $21''$ de la $28''$. La probabilidad de que un azar sonido de la campana de $B_2$ (Dirac $\delta$) no es escuchado, a continuación, se ${3\over4}$. Durante estos $28''$ bell $B_2$ emite $16$ Dirac-sonidos, sólo $4$ de los que luego en realidad ser escuchado (elementales de la teoría de números se encarga de eso). De ello se desprende que durante la $28''$ que en realidad se escuchan $21+4=25$ accidentes cerebrovasculares; hace $803.57$$15'$.

Tenga en cuenta que no podemos asumir que las campanas están "en fase". De hecho, tenemos que asumir que en el comienzo de la $28''$ las fases de $B_1$ $B_2$ están distribuidos de manera uniforme en $\bigl[0,{4\over3}\bigr]$, resp. $\bigl[0,{7\over4}\bigr]$. Esto se realiza en el enfoque anterior.