¿Existe una topología de Hausdorff compacta sobre los números naturales?

Question

Me preguntaba si existe una topología de Hausdorff compacta en $\mathbb N$ . El único resultado que pude encontrar en este contexto fue que, si un conjunto tiene una topología que es compacta, Hausdorff y no tiene puntos aislados entonces el conjunto es incontable. ¿Pero qué pasa si se permiten puntos aislados?

Answer 1

Por supuesto que sí.

Ejemplo: Considere $f\colon\mathbb N\to\mathbb R$ definido como, $f(0)=0, f(n)=\frac1n$ . Ahora dejemos que $\tau$ sea la topología definida como:

$U\subseteq\mathbb N$ es abierto si y sólo si $f''U$ está abierto en $\mathbb R$ .

Esto corresponde claramente a la métrica $d(x,y)=|f(x)-f(y)|$ , por lo que esto hace que $(\mathbb N,\tau)$ un espacio metrizable. De hecho, es completamente metrizable, ya que todos los puntos, excepto $0$ está aislado, y $0$ es el único punto límite.

Esto se puede generalizar fácilmente tomando un conjunto contable de números reales que esté acotado y tenga sólo un número contable de puntos límite, y cualquier biyección entre este conjunto y $\mathbb N$ .

Por supuesto, no podemos dejar de lado la limitación de que sólo hay un número contable de puntos límite, ya que un espacio métrico compacto es completo y todos los puntos límite deben estar dentro de él.

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Si está familiarizado con _ordinales_ entonces es posible que quiera probar lo siguiente:

Teorema: Supongamos que $\beta$ es un ordinal sucesor, entonces en el _topología de pedidos_ $\beta$ es Hausdorff y compacto.

Corolario: A todo ordinal sucesor contable se le puede dar una métrica compatible que sea completa, y el resultado es un espacio polaco compacto (separable, métrico y completo).

Answer 2

Existe una biyección entre la compactación de un punto $\mathbb{N}\cup\lbrace\infty\rbrace$ y $\mathbb N$ por ejemplo, mediante la asignación de

$$ \infty \mapsto 0 \text{ and } n \mapsto n+1 .$$

Utilice este mapa para obtener una topología Hausdorff compacta en $\mathbb N$ .