Sobre el presheaf utilizado para definir la gavilla de imagen inversa.

Question

Deje $f \colon X \to Y$ ser continua y $\mathcal{F}$ ser una gavilla en $Y$. Entonces la inversa de la imagen gavilla $f^*\mathcal{F}$ se define como el sheafification de la presheaf en $X$ dada por $$ U \mapsto \text{colim}_{f(U) \subseteq V} \;\mathcal{F}(V). $$

Mi pregunta: ¿Cómo podemos construir los mapas de restricción de este presheaf (preferible en una categoría teórica manera) y demostrar que en realidad define un presheaf?

Sé que el colimit es functorial en el sentido de que, en general, para functors $F,G \colon \mathcal{I} \to \mathcal{C}$ y una transformación natural $\Phi \colon F \to G$ hay una morfismos $\text{colim}_{i \in I}\,{\Phi}$ haciendo los diagramas $$ \text{colim}_{\mathcal{i \in I}}\; F(i) \xrightarrow{\text{colim}_{i \in I}\,{\Phi}} \text{colim}_{\mathcal{i \in I}}\; G(i)$$ $$ \uparrow \hspace{4cm} \uparrow$$ $$ F(i_0) \hspace{.75cm}\xrightarrow{\hspace{.35cm}\Phi_{i_0}\hspace{.35cm}}\hspace{.75cm} G(i_0)$$ a diario durante todos los $i_0 \in \mathcal{I}$. Hay algo similar para el índice de "cambios" que puedo usar aquí?

Answer 1

Si $U \subseteq U'$ entonces para obtener un mapa $$\mathrm{colim}{f(U') \subseteq V'} \ \mathcal F(V') \to \mathrm{colim}{f(U) \subseteq V} \ \mathcal F(V)$ $ utilizamos la propiedad universal de $\mathrm{colim}{f(U') \subseteq V'} \ \mathcal F(V')$. Tan sólo necesitamos un sistema coherente de mapas $$\mathcal F(V') \to \mathrm{colim}{f(U) \subseteq V} \ \mathcal F(V)$ $ % todo $V'$con $f(U')$. Pero si contiene un $V'$ $f(U')$ que contiene $f(U)$ y quede en el índice sobre que $V'$$\mathrm{colim}{f(U) \subseteq V} \ \mathcal F(V)$ se define. Como tal hay un mapa natural $\mathcal F(V') \to \mathrm{colim}{f(U) \subseteq V} \ \mathcal F(V)$ y usted puede fácilmente demostrar que estos mapas, definidos para todos los $V'$, satisfacer a las relaciones necesarias commutativity.

Answer 2

$\DeclareMathOperator{\colimit}{colim}$ Si $U'\subset U$, entonces para cualquier $V$ contiene $f(U)$, $f(U')$ también deben estar contenido en $V$.

Ahora hay natural mapas de $\mathcal F(W)\to\colimit_{f(U')\subset V'}\mathcal F(V')$ cualquier $W\supset f(U')$. En particular, tenemos mapas $$\mathcal F(V)\to \colimit_{f(U')\subset V'}\mathcal F(V')$$ for each $V\supset f(U)$. Moreover, these maps are compatible with the restriction maps between the $\mathcal F(V)$.

Por lo tanto, por la característica universal de colimit, hay un único mapa $$\colimit_{f(U)\subset V}\mathcal F(V)\to\colimit_{f(U')\subset V'}\mathcal F(V')$$ la correspondiente diagrama conmuta. Este es el mapa de restricción que desee. Es un poco tedioso de verificación de uso de la connaturalidad de las propiedades de la ruta que hemos construido para comprobar que este hecho hace que nuestro mapa en un presheaf.