Demostrando una declaración relacionada con círculos en un plano de coordenadas.

Question

Ahora se supone que debo probar la siguiente declaración

Dado círculos $\omega_1$ $\omega_2$ se cruza en el $X$$Y$. Deje $l_1$ ser una línea a través del centro de $\omega_1$ e intersecantes $\omega_2$ en puntos $P$ $Q$ y deje $l_2$ ser una línea a través del centro de $\omega_2$ e intersecantes $\omega_1$ en puntos $R$$S$. Si $P, Q, R, S$ son concyclic demostrar que el centro del círculo que pasa a través de estos puntos, pasa por el eje radical de $\omega_1$$\omega_2$.

Ahora he intentado usar el del teorema de Ptolomeo y la geometría, pero ¿cómo se relacionan el centro de la resultante de círculo para que el eje radical de los círculos?

Answer 1

Supongamos que la línea de $PQ$ $RS$ se cruzan en $T$. El poder de la $T$ con respecto al $ω_1$$TR \cdot TS$, y el poder de la $T$ con respecto al $ω_2$$TP \cdot TQ$. Debido a $P, Q, R, S$ son concyclic, entonces$$ TR \cdot TS = TP \cdot TQ. $$ Por lo tanto $T$ es sobre el eje radical de $ω_1$$ω_2$.

Ahora, debido a que la línea de $PQ$ es el eje radical de $ω_2$ y el círculo de $PQRS$,$OO_1 ⊥ PQ$, es decir,$OO_1 ⊥ TO_2$. De forma análoga, $OO_2 ⊥ TO_1$. Por lo tanto $O$ es el ortocentro de $△TO_1O_2$, lo que implica $TO ⊥ O_1O_2$. Desde $T$ es sobre el eje radical de $ω_1$$ω_2$, $O$ también está en el eje radical de $ω_1$$ω_2$.