¿Existe una definición de conjuntos cerrados en términos de bolas cerradas

Question

En mis clases de topología general, los conjuntos cerrados se definen en términos de conjuntos abiertos, pero me pregunto si los conjuntos cerrados pueden definirse en términos de bolas cerradas en espacios topológicos metrizables.

Answer 1

¿Qué te parece esto?

Un conjunto $C$ es cerrado si alrededor de cada punto que no está en $C$ existe una bola cerrada de radio no nulo que no se cruza con $C$ .

Explicación:

Un conjunto es cerrado si su complemento es abierto. En la definición estándar, su complemento es abierto si contiene una bola abierta alrededor de cada uno de sus puntos. Una bola cerrada tiene una bola abierta como subconjunto si su radio es distinto de cero (es decir, la bola abierta con el mismo radio). Además, toda bola abierta contiene una bola cerrada de radio distinto de cero (por ejemplo, la bola cerrada con la mitad del radio). Por lo tanto, hay una bola abierta en el complemento de $C$ alrededor de un punto si existe una bola cerrada de radio no nulo en el complemento de $C$ alrededor de ese punto. Por supuesto, una bola cerrada en el complemento de $C$ es una bola cerrada que no se cruza con $C$ .

Answer 2

Es cierto que en un espacio métrico todo conjunto cerrado puede representarse como la unión de bolas cerradas (posiblemente degeneradas, o unipersonales). Sin embargo, la unión arbitraria de conjuntos cerrados no es cerrada en la topología métrica habitual, ni en los espacios generales. Si definiéramos una topología en la que los conjuntos cerrados fueran la unión arbitraria de bolas cerradas, tendríamos tantos conjuntos cerrados que la topología sería discreta.