Los números complejos se vuelven demasiado complejos

Question

Sea $z$ estar en la curva $\arg\left(\dfrac{z-z_1}{z+z_1}\right)=\dfrac{\pi}{2}$ .

Si $\min\left(\arg\left(\dfrac{z}{z_1}\right),~\pi-\arg\left(\dfrac{z}{z_1}\right)\right)$ se encuentra en $\left[\dfrac{\pi}{6},~\dfrac{\pi}{3}\right]$ entonces

$\left(\max\left(\lvert z-z_1\rvert\right)-\min\left(\lvert z+z_1\rvert\right)\right)$ es igual a

(A) $2\lvert z_1 \rvert$

(B) $\left(\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right)\lvert z_1 \rvert$

(C) $\lvert z_1\rvert\sqrt{2}$

(D) $\dfrac{\lvert z_1\rvert}{\sqrt{2}}$

Hasta donde llegué, la curva en la que $z$ es una circunferencia centrada en el origen de radio $\lvert z_1 \rvert$ . La respuesta dada es la opción (C).

Answer 1

Como ya has averiguado, el número complejo $z$ se situará en un semicírculo con centro en el origen y radio $|z_1|$ así:

$\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space$

Ahora existe esta condición: $$\min\left(\arg\left(\dfrac{z}{z_1}\right),~\pi-\arg\left(\dfrac{z}{z_1}\right)\right)\in\left[\dfrac{\pi}{6},~\dfrac{\pi}{3}\right]$$

Tenga en cuenta en primer lugar que $\arg\left(\dfrac{z}{z_1}\right)$ es simplemente el ángulo entre $z$ O y $z_1$ y $\pi-\arg\left(\dfrac{z}{z_1}\right)$ es el ángulo entre $z$ O y $z_2$

Para utilizar la condición dada, divide el semicírculo en dos partes. En la parte de la derecha, $\arg\left(\dfrac{z}{z_1}\right)$ será menor y en el otro será mayor que $\pi-\arg\left(\dfrac{z}{z_1}\right)$ como se muestra:

$\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space$

En ambas partes se especifica que el ángulo correspondiente debe encontrarse en el intervalo $\left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{3}\right]$ así que $z$ se limitará a situarse en los arcos rojos mostrados:

$\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space$

Del diagrama se desprende claramente que $|z-z_1|$ será máxima y $|z+z_1|$ será mínimo cuando $z$ está en el punto A de la figura anterior.

Quizá la insinuación de Brian Tung tenga más sentido ahora.