$G$ tiene un subgrupo normal cíclico $H$

Question

Por favor me ayude a demostrar el siguiente resultado:

$\newcommand{\gal}{\operatorname{Gal}}$

Que $F\subset E$ ser una extensión de Galois y asumir que $E=F(\alpha)$ $\alpha^n\in F$. Que $$G=\gal(E/F)$ $.

Demostrar que $G$ tiene un subgrupo normal cíclico $H$ de orden dividiendo $n$ tal que $G/H$ es abeliano y tiene orden dividiendo $\phi(n)$.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Creo que lhf ya dio una excelente sugerencia. Más sobre que es darle casi la totalidad de la respuesta:

Por lo $\;E\;$ contiene todas las raíces de la unidad de la orden de $\;n\;$ . Si algunas de estas raíces ya estaban en $\;F\;$ o no $\;E\;$ contiene todas las raíces de un polinomio irreducible ( $\;F\;$ ) dividiendo $\;x^n-1\in F[x]\;$ . Sabemos que el conjunto de automorfismos ( $\;F\;$ ) permuting estas raíces es cíclica.

Ahora usar el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois deducir que el campo que corrige estas raíces deben ser normales y, por supuesto, corresponde a una normal cíclico (ya que cualquier subgrupo de un grupo cíclico es cíclico) subgrupo de $\;G\;$ .

Finalmente, recuerde que el grado de la cyclotomic polinomio de orden $\;n\;$$\;\phi(n)\;$, que también da a la orden de la correspondiente extensión, y que, teniendo en cuenta que algunas de las raíces de la unidad puede estar ya en $\;F\;$ , entonces debe obtener un divisor de a $\;\phi(n)\;$ como la orden de la correspondiente grupo (o de la correspondiente subextension).

Answer 2

Indirecta: $E$ contiene todas las raíces de $n$-th de la unidad porque $E/F$ es de Galois y $\alpha^n\in F$. Tenga en cuenta que algunas de estas raíces pueden estar ya en $F$.