$\lim_{n\to\infty}{\left({\sum_{k=1}^nk^k}\right)/{n^n}}=1$?

Question

Estoy interesado en la siguiente suma $S_n$. $$Sn:=\sum{k=1}^nk^k=1^1+2^2+3^3+\cdots+n^n.$$

Dejar $T_n:={S_n}/{n^n}$, wolfram nos dice lo siguiente. $$T5=1.09216, T{10}\approx1.04051, T{30}\approx1.01263, T{60}\approx1.00622.$$

Entonces, aquí es mi expectativa.

Mi expectativa: $$\lim_{n\to\infty}{T_n}=1.$ $

Parece obvio, por lo que he tratado de demostrarlo, pero que estoy enfrentando dificultades. Entonces, aquí está mi pregunta.

¿Pregunta: usted me podría mostrar cómo encontrar $\lim_{n\to\infty}{T_n}$ si existe?

Answer 1

Que $n\ge 3$. Mira en la parte superior. La suma de los términos hasta e incluyendo $(n-2)^{n-2}$ es $\le (n-2)(n-2)^{n-2}$. El término siguiente es $(n-1)^{n-1}$ y el último por supuesto es $n^n$.

Así que nuestra relación es $\gt 1$ y el límite de cada uno de los primeros dos términos de (1) está a menos de % $ $$\frac{(n-2)(n-2)^{n-2}}{n^n} +\frac{(n-1)^{n-1}}{n^n}+1.\tag{1}$$0$. Para el primer término es menor que $\dfrac{n\cdot n^{n-2}}{n^n}=\dfrac{1}{n}$ y el segundo también es $\lt \dfrac{1}{n}$.

El resultado se sigue ahora por exprimir.

Answer 2

Tenga en cuenta que $n\cdot(n-1)^{n-1}\leqslant n^n$ y que $n^2\cdot(n-k)^{n-k}\leqslant n^n$para cada $k\geqslant2$ por lo tanto el % $$ n ^ n\leqslant S_n\leqslant n ^ n + \frac1n\cdot n ^ n + (n-2) \cdot\frac1 {n ^ 2} \cdot n ^ n. $$ en particular, para cada $n\geqslant1$, $$1\leqslant T_n\leqslant1+\frac2n.$ $