¿Camino a la teoría de números?

Question

Mis preguntas llegado a estos dos:

1. ¿Cuáles son las principales ramas de la teoría de los números?
2. Lo que se recomienda una vía de estas ramas de la teoría de números a partir de sólo matemáticas elementales (los contemplados en el currículo de la escuela secundaria)? En particular, ¿qué necesito para estudiar? ¿Cuáles son algunos de los textos que traje para este propósito?

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Aquí está mi fondo. Soy un estudiante de secundaria que comenzó el estudio de la teoría de los números hace varios meses y rápidamente quedó fascinada por este hermoso tema. Así que me decidí a adentrarse en ella. Pero luego me di cuenta de que es un gran tema con muchas ramas de estudio, y lo que es más, la mayoría de estos temas más avanzados explotar las herramientas de las matemáticas superiores, que sé muy poco acerca de. Con tantas cosas para aprender (número de la teoría misma y tantos requisitos previos) no sé por dónde empezar. Por eso hago esta pregunta, en busca de un auto-estudio de la vía de manera que pueda hacer un plan de estudio.

Yo soy más de "matemáticamente maduro" de ordinario los estudiantes de escuela secundaria porque, primero, me he estado preparando para (nivel secundaria) matemáticas de las competiciones y en segundo lugar, estaba expuesto a la matemática superior. Sé que algunos de los conceptos básicos de análisis real, álgebra lineal, la combinatoria, etc. (Pero eso no significa que he aprendido de ellos.) Así que por favor recomendar seria textos. Por cierto, estoy leyendo Hardy & Wright es Una Introducción a la Teoría de Números y Thomas Hungerford del Álgebra (GTM 73) para una fundación en álgebra abstracta.

Espero que esta pregunta no va a ser cerrado. Yo creo que mucha gente (como estudiantes de primer año) se puede beneficiar de esa vía. Pero para mí, no tengo a nadie a ser mi mentor, así que realmente necesitan una vía detallada, de la que puedo aprender qué es exactamente lo que necesita hacer. Esto es realmente importante para mí, y yo realmente aprecio su ayuda.

Answer 1

Elementales de la teoría de números, es decir, modular la congruencia lineal, Diophantine ecuaciones cuadráticas y los residuos de la reciprocidad cuadrática puede ser fácilmente estudiados sin experiencia en más de álgebra o cálculo, y hay probablemente varios libros sobre el tema accesibles a usted (en casi todos los de la lengua materna). Realmente, es una cuestión de gusto. Uno de mis favoritos es Elemental a la Teoría de números, Gareth y Josefina Jones. También, se cubrirá básicos y conceptos centrales de la teoría de los números que usted necesite en cualquier estudio avanzado.

A partir de ahí, la teoría de números se rompe en dos ramas principales (con una gran cantidad de superposición entre ellos, y, por supuesto, no exhaustivo de las ramas): la analítica y la teoría algebraica de números. Para su análisis, algunos cálculos pueden venir de la mano. Como para algebraicas básicas de álgebra superior se espera.

El estándar de referencia de la teoría analítica de números es Apostol de la Introducción a la Teoría Analítica de números. Cuánto cálculo que usted necesita depende de qué tan profundo se va a ir (que puede ser de una sola variable, multi variable, variable compleja, usted también puede necesitar algunas de topología general, ¿quién sabe?).

Nunca he leído algo específico acerca de la teoría algebraica de números, sino de la Internet parece recomendar Rosen & Irlanda es Un Clásico de Introducción a la Moderna Teoría de números. Desde el resumen, parece que cubren los aspectos básicos de la teoría algebraica de números (también, con una gran cantidad de solapamiento con primaria cosas). He tenido una buena experiencia con Serre es Un Curso de Aritmética, que abarca tanto analíticos y algebraicos aspectos, a pesar de que es un libro duro de digerir (también, del original francés es superior).

Desde allí, usted probablemente ya tiene muy específicos intereses a partir de la cual usted será capaz de obtener mejores referencias. Y para el cálculo, el álgebra y la topología, se puede encontrar introductorio referencias aquí en el sitio. Esperar que necesita al menos un poco de conocimiento de grupos, anillos y campos, derivados, serie infinita, la topología y variables complejas para ahondar en las más avanzadas (tiempo central).