Si $H$ es un espacio de Hilbert no separable y $T:H \to H$ sea compacto, entonces demuestre que $0 \in \sigma_{p}(T)$ .
No tengo ni idea de trabajar en un espacio de Hilbert no separable. Es obvio que no tendrá una base ortonormal contable. Aparte de eso no sé nada sobre el espacio de Hilbert no separable. ¡¡¡Gracias de antemano !!!
Se trata de demostrar que $\ker T\ne\{0\}$ .
Supongamos primero que $T$ es autoadjunto. Como $T$ es compacto, cada elemento no nulo del espectro es un valor propio con multiplicidad finita, y hay a lo sumo un número contable de valores propios no nulos. Es decir, $$ T=\sum_{k=1}^\infty\lambda_kP_k,$$ donde $\{P_j\}$ son proyecciones ortogonales de rango finito.
Como $Tx=\sum_{k=1}^\infty\lambda_kP_kx$ deducimos que la imagen de $T$ es (a lo sumo) countably-dimensional. Ahora bien, como $$ H=\ker T\oplus \overline{\text{ran}\,T}, $$ se deduce que $\ker T$ es distinto de cero; en realidad, tiene una dimensión incontable.
Para los no autoadjuntos $T$ Utiliza el hecho de que $\ker T=\ker T^*T$ .
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Utilice (y demuestre, si no está familiarizado) el hecho de que el rango de un operador compacto es siempre separable.
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Yo sé este hecho. Pero entonces puedes decir que T no es onto. Entonces 0 no puede estar en el resolvente. Por lo tanto 0 está en el espectro. Pero lo que necesito demostrar es que 0 es un valor propio, es decir, T no es uno.. Pero, ¿podemos concluir fácilmente que T no es uno-uno?
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¿Has mirado $S=T^*T$ ¿que es autoconjunta y compacta?
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@DisintegrationByParts ¿Es correcto? Si es incorrecto, por favor, aclárelo. Desde $T^*T$ es compacto $0\in \sigma(T^*T)$ . Además $\exists x_n\in S_H$ tal que $lim_{n\to infty}<T^*Tx_n,x_n>=0$ es decir $||Tx_n||\to 0$ . Por lo tanto, $Tx_n\to 0$ como $n\to \infty$ . Desde $T$ es compacto $\exists y\in S_H$ tal que $Ty=0$ . Por lo tanto, $T$ no es inyectiva. Entonces podemos obtener la conclusión.
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@feliz cómo se obtiene la secuencia $X_{n}$ tal que $\langle T^{*}T(x_{n}), x_{n} \rangle $ tienden a 0 cuando n tiende a infinito.
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Aplicar el teorema espectral para $S = \sum_n \lambda_n P_n$ donde $\lambda_n \ne 0$ y $P_n$ son las proyecciones ortogonales sobre el eigespacio con valor propio $\lambda_n \ne 0$ . La gama de $S$ es separable. Así que $\mathcal{R}(S)^{\perp} \ne 0$ que es $\mathcal{N}(S)$ . Y $\mathcal{N}(S)=\mathcal{N}(T^*T)=\mathcal{N}(T)$ .
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Si $\alpha \in \sigma(T)$ donde $T$ es un operador lineal acotado en el espacio de Hilbert, entonces $\exists x_n\in S_H$ tal que $lim_{\infty}<Tx_n,x_n>=\alpha$ . Porque cuando $\alpha$ está en el espectro puntual aproximado, entonces utilizando la definición de espectro puntual aproximado y cuando $\alpha$ no está en el espectro de puntos aproximados, entonces usando el hecho $\overline{\alpha}$ es el valor propio de $T^*$ . Pero no estoy seguro de la existencia de $y$ ¡!