Encontrar todos los números que se ajustan $x! + y! = z!$

Question

Tengo la fórmula $x! + y! = z!$ y estoy en busca de enteros positivos que hacen que esto sea cierto. Luego de la inspección parece que x = y = 1 y z = 2 es la única solución. El problema es cómo se muestran.

A partir de la definición de la función factorial sabemos $x! = x(x-1)(x-2)...(2)(1)$

Así que podemos hacer algo como esto:

$$ [x(x-1)(x-2)...(2)(1)] + [y(y-1)(y-2)...(2)(1)] = [z(z-1)(z-2)...(2)(1)]$$

podemos, entonces, el factor de todos los términos comunes en el lado izquierdo. $$ [...(2)(1)][x(x-1)(x-2)... + y(y-1)(y-2)...] = [z(z-1)(z-2)...(2)(1)]$$ y dividir los términos comunes a cabo de la mano derecha $$[x(x-1)(x-2)...] + [y(y-1)(y-2)...] = [z(z-1)(z-2)...]$$

Estoy atascado en cómo proceder y cómo hacer más claro el argumento de que sólo existe una solución (si es que realmente hay sólo una solución).

Si alguien puede dar una pista de cómo proceder, yo estaría muy agradecido.

Answer 1

Si $x, y \in \{0,1\}$, entonces siempre podemos encontrar una solución a $z \in \{0, 1, 2\}$. El resto del post va a demostrar que no hay otras soluciones.

Supongamos $y \geq x \geq 2$ sin pérdida de generalidad.

Dividir ambos lados por $x!$ da $$ 1 + y(y-1)\cdots(x+1) = z(z-1)\cdots(x+1). $$ Si $y > x$, vemos a $x+1$ divide el lado derecho, pero no la mano izquierda ($x+1$ divide un término en la suma, pero no de la otra), en cuyo caso no hay soluciones.

Si $y = x$, podemos reducir el problema a resolver de $2y! = z!$. Desde $y \geq 2$, la izquierda siempre tiene más factores de $2$ de la mano derecha, en cuyo caso no hay soluciones.

Answer 2

Dentro de muy poco, $(x,y,z)=(0,0,2),(0,1,2),(1,0,2),(1,1,2)$ son las únicas soluciones porque si WLOG $1<x\le y<z$ luego dividiendo por $y!$ rendimientos $$1+\frac{1}{(x+1)(x+2)\cdots y}=(y+1)(y+2)\cdots z,$$ cuyo lado derecho es un número entero, mientras que su LHS no lo es.

Answer 3

El problema es cómo mostrar

Una manera tal vez el uso de la fórmula de Stirling que se aproxima a $n!$ como sigue:

$n! \approx n \ln (n) - n$

así que usted podría escribir:

$x \ln(x) - x + y \ln(y) - y \approx z \ln(z) - z$

$z - x - y \approx z \ln(z) - x \ln (x) - y \ln (y)$

una solución a esto puede ser derivado por:

$z=z\ln(z)$ $x=x\ln(x)$ $y=y\ln(y)$

que es:

$1=\ln(z)$ $1 = \ln(x)$ $1 = \ln(y)$

esto nos lleva al hecho de que $x, y, z$ entre $0$ $e+m$ donde $m$ es un pequeño número entero mayor que o igual a cero. He utilizado el $m$ aquí desde el Sterling fórmula no es exacta, por lo tanto los valores no pueden ser exactos. Uno podría entonces tratar manualmente los números enteros en el rango de $[0,2+m]$ y la construcción de las diferentes combinaciones hasta encontrar, al menos, $1$ solución.

Answer 4

Si $x!+y!=z!$ en los enteros positivos $x,y,z$, podemos suponer $x\le y$, y es claro que $y\le z$. Estas desigualdades implican $x!\mid y!$$y!\mid z!$. Pero

$$y!\mid z!\implies y!\mid(z!-y!)\implies y!\mid x!$$

y esto implica $y=x$, por lo que el $z!=2x!$. La única solución para esto es $x=1$, $z=2$, así, obtenemos $(x,y,z)=(1,1,2)$ como la única solución en los enteros positivos.