¿Es necesario que el espacio vectorial típico de polinomios hasta cierto grado tenga los vectores constantes

Question

Ayudé a un compañero de clase con un ejercicio sobre conjuntos de vectores que abarcan (o no) determinados espacios vectoriales. La pregunta era la siguiente ¿El conjunto $$\{ t, t+t^2, t^3-3t^4, 2t-t^2, -4t^4-t^3 \}$$ abarcar el espacio $$P_4$$ donde este espacio vectorial eran los polinomios con grado $\leq 4$ . (donde $t \in \mathbb{R}$ )

(este espacio vectorial se define de la forma habitual, con las coordenadas de un vector correspondientes a los coeficientes de un polinomio)

Dije que sí porque cuando escribes los vectores como un $5$ por $4$ puedes usar la eliminación gaussiana para acabar con 4 vectores monomiales (con esto me refiero a los vectores $(1,0,0,0)$ etc., que se utilizarían como coeficientes de un polinomio). Esta respuesta era equivocado porque el conjunto no incluye un vector constante.

Lo que me lleva a mi pregunta concreta de por qué ocurre esto. Por lo que he intentado se podría hablar de un espacio vectorial de polinomios con grado $\leq k$ y ninguna parte constante bien. He intentado encontrar dónde no funcionan los axiomas del espacio vectorial pero no consigo encontrar ningún error.

Entonces, ¿hay algo que estoy pasando por alto por lo que un espacio vectorial de polinomios sin una parte constante no funcionaría? Entiendo que sería bastante extraño, ya que si estás hablando de polinomios no hay ninguna razón para no tener en cuenta los polinomios constantes, sobre todo porque no causan ningún problema aquí, pero vamos a hacer caso omiso de eso por un momento.

P.D. sí corregí mi error al compañero de clase

Answer 1

Si le he entendido bien, está haciendo dos preguntas distintas:

1. ¿El conjunto de polinomios de grado $\le n$ tiene que incluir polinomios constantes?
2. Es el conjunto de polinomios de grado $\le n$ con término constante $=0$ ¿un espacio vectorial?

La respuesta a la primera pregunta es Sí por definición "polinomios de grado $\le n$ "incluye polinomios de grado $0$ lo que significa que el conjunto de polinomios de grado $\le n$ debe incluir constantes.

Sin embargo, creo que eso ya lo sabes, y creo que lo que realmente quiere saber es la respuesta a la segunda pregunta, que también es Sí . Ciertamente se puede considerar el conjunto de polinomios de grado $\le n$ cuyos términos constantes son $0$ y comprobar (como parece que has hecho) que satisface todos los requisitos de un espacio vectorial. Este subespacio de $P_n$ también puede describirse como el subconjunto de $P_n$ formado por polinomios para los que $x$ es un factor.

Volviendo a la pregunta con la que empezó todo: el ejercicio que dio lugar a esto preguntaba "¿Este conjunto de polinomios abarca $P_4$ ?" La respuesta a esta pregunta es no porque $P_4$ contiene polinomios constantes, y no hay forma de obtener un polinomio constante como combinación lineal del conjunto dado de polinomios. Es cierto que el conjunto de polinomios abarca a espacio vectorial pero ese espacio vectorial no es todo el $P_4$ . De hecho, puedes estar seguro de que no lo es, porque (como ya has determinado) el espacio vectorial abarcado por esos vectores es de 4 dimensiones, mientras que $P_4$ es de 5 dimensiones.