Prueba

Question

Supongamos que$n \in \mathbb{N}$ y$a,b \in \mathbb{N}$ de manera que$\gcd(a,b)=1$, quiero mostrar que:

ps

pero no puedo, creo que deberíamos considerar el conjunto {$$\frac{1}{a}+\frac{1}{a+b}+\cdots+\frac{1}{a+nb} \notin \mathbb{N}$} y usar el teorema de chebyshev, pero no sé cómo debo usar eso? ¿hay alguien que me ayude?

por ejemplo, en un caso especial, obtuve$a,a+b,...,a+bn$, así que cada número de {$b=1,$} tiene la forma$a,a+1,...,a+n$, que$2^{r}m$ es impar y$b$ y podemos discutir acerca de $r>-1$.

Answer 1

Lo que escribo a continuación no es realmente una respuesta sino una estrategia para abordar el problema. Una declaración$\frac{1}{a}+\frac{1}{a+b}+\cdots+\frac{1}{a+nb} \neq p $ para todos$p\in \mathbb{N}$ es equivalente a la declaración $$ p \ cdot \ prod_ {1 \ leq k \ leq n} (a + kb) - \ sum_ {0 \ leq i \ leq n} \ prod _ {\ substack {0 \ leq k \ leq n \\ k \ neq i}} (a + kb) \ neq 0 $$ para todo$p\in\mathbb{N}$. Por lo tanto, es suficiente para demostrar que la ecuación $$ x \ cdot \ prod_ {1 \ leq k \ leq n} (a + kb) - \ sum_ {0 \ leq i \ leq n} \ prod _ {\ substack {0 \ leq k \ leq n \\ k \ neq i}} (a + kb) = 0 $$ no tiene raíces enteras para todos$n\in\mathbb{N}$.