Suma de dígitos de un número cuadrado.

Question

Se dice que un número entero positivo n es bueno si existe un cuadrado perfecto cuya suma de dígitos en base 10 es igual a n. Por ejemplo, 13 es bueno porque (7^2)=49 y 4+9=13. ¿Cuántos números buenos hay entre 1, 2, 3, , 2007?

He empezado a hacer una lista de todos los números cuadrados y a sumar sus dígitos en un archivo de Excel. ... Hasta ahora, he conseguido buenos números como 1, 4, 7, 9, 10, 13, 16, 19. Pero, este método lleva mucho tiempo. ... ¿Hay una manera más corta y más inteligente para resolver este problema.

Answer 1

Para ser formal sobre esto, tenga en cuenta que para $r$ lo suficientemente grande y $s$ un solo dígito decimal $$(10^r-s)^2 = 10^{2r}-2s \cdot 10^r+r^2 = 9\cdot(10^{2r-1}+10^{2r-2}+\dots 10^{r+3})+(100-2s)\cdot10^r+s^2$$

Así que empezamos con una cadena de $9$ s que es $r-3$ largo seguido de dos dígitos que son fijos (y pueden ser cero o $9$ ), luego una cadena de ceros seguida de uno o dos dígitos de $s^2$ . Cada vez que aumente $r$ por uno, la suma de los dígitos se incrementa con la adición de una sola cabeza $9$ .

Toma $s=1$ para ver qué pasa

$9^2=81$

$99^2=9801$

$999^2=998001$

Se trata de $9,18, 27\dots$

Con $s=2$

$8^2=64$

$98^2=9604$

$998^2=996004$

Que trata de $10,19,28\dots$

Con $s=3$

$7^2=49$

$97^2=9409$

$997^2=994009$

Que trata de $13,22,31\dots$

$s=4$ trata de múltiplos de $9$ de nuevo.

$s=5$ da

$5^2=25$

$95^2=9025$

$995^2=990025$

Y esto trata de $7,16,25\dots$

Con la adición de unos pocos casos tempranos que éstos pasan por alto, se puede demostrar que se acierta con cada elemento positivo de cada clase de residuo cuadrático módulo $9$

Answer 2

Sugerencia: ( Continuación de su método)

Este método de observación de patrones me parece muy interesante. Así que continuaré con el mismo.

Escriba los primeros números buenos como $$1,4,7,9,10,13,16,18,19,22,25,....$$

Ahora escribe las diferencias entre términos consecutivos como $$3,3,2,1,3,3,2,1,3,3,...$$

¿Te has dado cuenta del patrón de diferencias? Se repite como $3,3,2,1$ y una y otra vez.

Así que con álgebra simple debe tener su respuesta como $$223*4=892$$

Editar:

En general desde $1$ a $9n$ ( $n\in N$ ) hay $4n$ buenos números.

Answer 3

HINT

Cuadrados módulo $9$ son $0,1,4,0,7,7,0,4,1$ y $0,1,4,7,9$ se hacen realidad. Pero, ¿existen lagunas en estas clases de residuos?

Si pudiéramos encontrar números cuadrados en secuencia con un patrón con los mismos dígitos iniciales y finales, y dígitos intermedios constantes, podríamos demostrarlo.

Por ejemplo $$34^2=1156, 334^2=111556, 3334^2=11115556$$ o $$43^2=1849, 433^3= 187489, 4333^2=18774889$$

El primero de ellos da la diferencia $6$ en la suma de dígitos y trata $13,19,25 \dots$ . El segundo tiene diferencia $15$ y hace algo del resto.

¿Puede encontrar ejemplos que llenen todas las lagunas?

Otra pista: creo que hay una forma sencilla de hacerlo, que no requiere tantas pruebas, pero que se basa en la misma idea.

$91^2=8281, 991^2=982081 \dots 92^2=8464, 992^2=984064 \dots$

Answer 4

Método 2:

(Creo que este es bastante similar al método utilizado por Mark Bennet. Y una nota que no estoy copiando su respuesta, sólo dando una forma ligeramente intuitiva de su método)

Necesitamos la suma de los dígitos de un cuadrado perfecto. Ahora sólo recordar que la divisibilidad de 9 exactamente tratar con la suma de los dígitos de un número.

Se puede escribir cualquier cuadrado perfecto en las formas de $9m$ o $9m+1$ o $9m+4$ o $9m+7$ para algunos $m\in W$

Ahora la suma de dígitos de cualquier cuadrado perfecto también sigue la regla. Y por lo tanto su respuesta debe ser la cantidad de números de 1 a 2007 de las formas $9m$ o $9m+1$ o $9m+4$ o $9m+7$ .

Answer 5

Dejemos que $a=\sum_{k=0}^{n-1} a_k 10^k$ donde $a_k \in [0,9]$ y que $f(a) = \sum_{k=0}^{n-1} a_k$ . Entonces tenemos:

$$a^2 = \sum_{k,l=0}^{n-1} a_k a_l 10^{(k+l)} = a_0^210^0 + (a_1a_0 + a_0 a_1)10^1 + \dots + \left(\sum_{k=0}^{n-1} a_{n-1-k}a_k\right)10^{n-1} + \left(\sum_{k=1}^{n-1} a_{n-1-k}a_k\right)10^n + \dots + a_{n-1}^2 10^{2n-2},$$

así que $f(a^2) = \sum_{l=0}^{n-1}\sum_{k=0}^la_{l-k}a_k + \sum_{l=0}^{n-1}\sum_{k=l+1}^{n-1}a_{n-1-k}a_k$ .

Espero que esto ayude.