Considere la función $$ f(x,y) = \frac{xy^3}{x^4+y^2}. $$ con $f(0,0) = 0$. Es este un $C^1$-a la función?
En primer lugar calculamos: \begin{align*} & D_1f(x,y) = \frac{y^3(x^4+y^2)-xy^3(4x^3)}{(x^4+y^2)^2} = \frac{y^3(y^2-3x^4)}{(x^4+y^2)^2}, \\ & D_2f(x,y) = \frac{3xy^2(x^4+y^2)-xy^3(2y)}{(x^4+y^2)^2} = \frac{xy^2(3x^4+y^2)}{(x^4+y^2)^2}, \end{align*} y $D_1f(0,0)= D_2f(0,0) = 0$. La función es diferenciable en a$(0,0)$$f'(\vec{0}) = [0,0]$, ya que podemos comprobar que: \begin{align*} \frac{|f(x,y)|}{\|\vec{x}\|} & = \frac{|x||y|^3}{x^4+y^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{|x||y|}{\frac{x^4}{y^2} + 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{|x||y|}{\left( \frac{x^2}{y} \right)^2 + 1} \cdot \frac{1}{\|\vec{x}\|} \\ & \leq |x||y| \cdot \frac{1}{\|\vec{x}\|} \leq \|\vec{x}\|^2 \cdot \frac{1}{\|\vec{x}\|} = \|\vec{x}\| \to 0 \textrm{ als } \vec{x} \to \vec{0}. \end{align*}
Con el fin de determinar si es $C^1$, tenemos que determinar si las derivadas parciales son continuas en todo el dominio. Estoy tratando de determinar esto para el punto de $(0,0)$, y por eso es necesario determinar $$ \lim_{(x,y) \a (0,0)} \frac{y^3(y^2-3x^4)}{(x^4+y^2)^2}, $$ y $$ \lim_{(x,y) \a (0,0)} \frac{xy^2(3x^4+y^2)}{(x^4+y^2)^2}. $$ Estoy atascado en este paso, no sé cómo calcular estos límites.
