¿Existe o puede existir una teoría de modelo de prueba de este teorema de la aritmética?

Question

He leído en MO que si un entero $a$ es un cuadrado mod $p$ para los suficientemente grandes números primos $p$, $a$ es un cuadrado. Ahora que es una declaración que se ve terriblemente como un Lefschetz-principio-tipo de instrucción; y por eso me pregunto si no tendría que ser un modelo de la teoría de la prueba.

Podría comenzar como sigue: fijar un $a$; deje $T$ ser una teoría aspecto de la teoría de anillos + $\exists x, (x^2 = 1+...+1) \land P(x)$ (hay $a$ $1$'s) + para todos $p$, $char \neq p$; donde $P$ es una buena fórmula que expresa algo que se parece a "$x$ es un número entero".

Una de las razones podría funcionar esto es que, por ejemplo, $\mathbb{N}$ es definible en $(\mathbb{Q},+,\times)$, y así podemos esperar que un "buen" fórmula $P$ puede existir. Con un poco de suerte, el uso de compacidad sería entonces nos permiten concluir.

Por supuesto no he hecho mucho aquí, sólo me tiró un montón de ideas, pero sobre todo porque no veo la manera de hacerlo mejor por el momento.

Así que mi pregunta es :

Hay un conocido modelo de la teoría de la prueba de este hecho? Tiene uno jamás se haya intentado ? Hay número de la teoría de las obstrucciones a la existencia de una prueba ? (como por ejemplo "este teorema implica tales y tan profunda teoremas que por alguna razón son esencialmente número de la teoría de la")

Answer 1

No creo que esto se puede hacer. El problema es que si $a$ es no un cuadrado, entonces todavía hay una infinidad de números primos $p$ que $a$ es un cuadrado modulo $p$.

Hagamos de este argumento más formal. Supongamos que tenemos una fórmula $P(x)$ que expresa que $x$ es un número entero. Como usted propone, ahora podemos ver en la teoría dada por

• la teoría de los campos,
• la declaración de $\exists x: (x^2 = 2 \wedge P(x))$ y
• para cada uno de los prime $p$, la declaración de $p \neq 0$.

El punto ahora es que esta teoría no tiene un modelo, ya que no hay ningún campo de característica cero en el que 2 es el cuadrado de un entero. Sin embargo, cada finito subteoría tiene un modelo. Es decir, $2$ es el cuadrado de un número entero en cada campo $\mathbb{F}_p$$p \equiv 1,7 \pmod 8$, y es bien sabido que hay infinitamente muchos de esos números primos, así que sólo se puede dar $p$ lo suficientemente grande. Esto contradice el teorema de compacidad, por tanto, una fórmula $P(x)$ no existe.

Tal vez otro enfoque podría conducir a un modelo de la teoría de la prueba, pero no veo cómo se podría evitar el problema anterior.