Disecar el cuadrado en triángulos de igual perímetro

Question

Dado el cuadrado unitario, es claramente posible diseccionarlo en cualquier número par de triángulos del mismo perímetro (los triángulos son isométricos pares). Pero no he podido encontrar tal disección para 3 triángulos (o 5...). ¿Es posible?

Answer 1

ACTUALIZACIÓN: Un rectángulo de 1 por 0,964394 (o $4 - 22x + 67x^2 - 112x^3 + 64x^4=0$ ) se puede dividir en siete triángulos de igual perímetro.

He buscado 5, con varios triángulos base, y luego elipses en las aristas no apareadas para asegurar perímetros iguales. No salió nada obvio. Esto es lo más parecido que conseguí, con siete triángulos de igual perímetro que casi completan el cuadrado. El punto H tiene un $x$ valor de $(10 - 3 \sqrt5)/10$ .

En Gráficos de rueda con aristas enteras En este caso, doy ejemplos en los que los triángulos de lados enteros pueden completar un gráfico de rueda. Hasta ahora, todas las soluciones tienen áreas con 1 o 2 radicales de área. Triángulo Radical tiene listas de triángulos de un determinado radical.

Los siguientes triángulos heronianos tienen todos el mismo perímetro. Por lo tanto, podrían completar el gráfico de una rueda, o incluso completar un dibujo integral . Pero probablemente no.

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Pero hay muchos conjuntos mayores de triángulos equiperimétricos con el mismo radical. Alguien podría revisarlas para ver si hay un conjunto que llene un cuadrado.

Answer 2

Hay un famoso teorema de Monsky diciendo que no se puede dividir un cuadrado en un número impar de triángulos de igual zona . La demostración no es fácil, y algunos autores incluso recurren al axioma de elección para una demostración. En fin: Para obtener un teorema sobre un número impar de triángulos de igual perímetro debería ser aún más difícil ya que las raíces cuadradas entran en escena.