Pointwise vs Convergencia Uniforme

Question

Esta es una pregunta bastante básica. Yo no entiendo la definición de convergencia uniforme.

Aquí están mis dado definiciones para pointwise y convergencia uniforme:

Pointwise límite: Vamos a $X$ ser un conjunto, y deje $F$ ser reales o números complejos. Considere la posibilidad de una secuencia de funciones de $f_n$ donde $f_n:X\to F$ es un almacén de función para cada $n\in \mathbb N$. $f:X\to F$ es el pointwise límite de $f_n$ si para cada $x \in X$, $$\lim_{x\to \infty}f_n(x)=f(x).$$

Convergencia uniforme: Vamos a $f_n$ ser una secuencia de funciones en el conjunto de todos los delimitadas las funciones de $X$ $F$donde $F$ es el real o números complejos. La secuencia se dice que converge uniformemente a una limitada función de $f:X \to F$ si, dada $\epsilon>0$, existe un $N\in \mathbb N$ s.t. sup{|$f_n(x)-f(x)$| | x / $\epsilon$X}<$\epsilon$ n$\ge$N

Lo siento, no tengo más específica de que se trate. Yo no veo la exacta relación/diferencia entre las dos definiciones. He preguntado en dos diferentes profesores para explicar esto a mí, pero ninguno de sus explicaciones ayudado.

Edit: Tratando de demostrar que la convergencia uniforme implica pointwise convergencia si $f_n$ converge uniformemente a f, entonces $\sup\{|f_n(x)-f(x)| : x\in X \}$$n\ge N$. Así, |$f_n(x)-f(x)$|<$\epsilon$ para n$\ge$N, que es la definición de pointwise convergencia.

Answer 1

Comparación

Pointwise la convergencia de los medios en cada punto de la secuencia de funciones tiene su propia velocidad de convergencia (que puede ser muy rápido en algunos puntos y very very very very lento en otros).

Imagínese qué tan lenta que la secuencia tiende a cero en más y más exterior de los puntos: $$\frac{1}{n}x^2\to 0$$

Convergencia uniforme significa que hay un general de la velocidad de convergencia.

En el ejemplo de arriba, no importa a que velocidad que considerar siempre habrá un punto exterior a la que su secuencia más lenta la velocidad de convergencia, que es que no convergen uniformemente.

Otro Enfoque

Uno puede comprobar convergencia uniforme considerando la "infimum de velocidades por encima de todos los puntos". Si no desaparecen, entonces es uniformemente convergente. Y que da a otra caracterización de los como los con nonvanishing general de la velocidad de convergencia.

Answer 2

Puede ayudar si usted desplegar la definición de límite en pointwise convergencia.

Luego pointwise convergencia significa que para cada una de las $x$ $\epsilon$ usted puede encontrar una $N$ tal que (bla bla bla). Aquí el $N$ es permitido a depender tanto de $x$$\epsilon$.

En convergencia uniforme el requisito es fortalecido. Aquí, para cada una de las $\epsilon$ usted necesita para ser capaz de encontrar una $N$ tal que (bla bla bla) para todos los $x$ en el dominio de la función. En otras palabras $N$ puede depender de $\epsilon$, pero no en $x$.

El último es una condición más fuerte, porque si usted tiene sólo pointwise convergencia, es posible que algunas de las $\epsilon$ va a requerir arbitrariamente grande, $N$ algunos $x$s.

Por ejemplo, las funciones de $f_n(x)=\frac{x}{n}$ convergen pointwise para el cero de la función en $\mathbb R$, pero no convergen uniformemente. Por ejemplo, si elegimos $\epsilon=1$, entonces la condición de convergencia se reduce a $N>|x|$. Para cada una de las $x\in\mathbb R$ podemos encontrar como un $N$ fácilmente, pero no hay $N$ que trabaja simultáneamente para cada $x$.

Answer 3

$f_n\to f$ pointwise en $(a,b)$ si para cada uno de ellos fijo $x\in(a,b)$, $|f_n(x)-f(x)|\to 0$ como $n\to\infty$. Aviso este es un pointwise (local) criterio.

Por otro lado, $f_n\to f$ uniformemente en $(a,b)$ si $\sup_{a< x<b}|f_n(x)-f(x)|\to 0$$n\to\infty$. Este es un "global", el criterio en que se requiere el máximo de todos los pointwise errores en $[a,b]$ a tiende a cero.

Como un ejemplo, $f_n(x)=x^n$, $0\le x\le 1$ converge pointwise a $f(x)=\begin{cases} 0, &0\le x<1,\\ 1, &x=1.\end{cases}$, porque la primera condición anterior se mantiene, pero la convergencia no es uniforme, ya que la segunda condición no se cumple.