Dibujo muestras condicionadas a ser más grande que el anterior, hasta que se alcanza un umbral

Question

Supongamos que tengo un % de la función de densidad de probabilidad $f$y un % de umbral $t$.

Que $X_0 = 0$

Yo ahora recurrentemente dibujar $X_{i + 1}$ utilizando la distribución definida por $f(x | x \gt X_i)$ hasta $X_k \gt t$ $k$.

¿Cuál es el nombre para este tipo de proceso? ¿Qué puedo decir de $\sum_1^k g(X_i)$ % función $g$?

Answer 1

Como whuber señala en los comentarios, tu problema puede ser considerado para la distribución uniforme, sin pérdida de generalidad, puesto que cada variable aleatoria continua es una monotonitc transformación de un continuo uniforme de la variable aleatoria. Desde un uniforme variable aleatoria con una condición impuesta de un menor-bound es todavía uniforme (a través de su nuevo intervalo condicional) el problema se simplifica aún más en un problema que puede escribirse como una transformación de un activo subyacente IID secuencia uniforme de las variables aleatorias.

Resulta que este problema lleva a algunos analíticamente complicado resultados, relacionados con el uso de la inclusión-exclusión de la sumación de forma en un conjunto de uniforme de variables aleatorias. No puedo conseguir una completa analítica de la solución a su problema, pero aquí es un gran avance hacia una solución.

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Especificar el problema: Vamos a $U_1, U_2, U_3, ... \sim \text{IID U}(0,1)$ y definir las series correspondientes de interés $X_0, X_1, X_2, X_3, ...$ por el recurrente ecuaciones:

$$X_0 = 0 \quad \quad \quad \quad X_{t+1} = X_t + (1-X_t) U_{t+1}.$$

Se puede comprobar con facilidad que $X_{t+1} | x_t \sim \text{U}(x_t,1)$, que es el deseado condicional de la distribución en su problema. Es de destacar también que la secuencia de valores de interés es estrictamente creciente (que es una propiedad que vamos a utilizar en la solución de abajo). Ahora, para cualquier valor del argumento de $0<t<1$ definimos:

$$K(t) \equiv \min \{ n \in \mathbb{N} | X_n > t \}.$$

Este es el índice para el primer valor que supera el argumento de umbral. Para resolver el problema tenemos que encontrar la distribución de $K(t)$. Esto permite que usted examine la suma que usted está interesado en la aplicación de la ley-de-total-probabilidad.

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Encontrar la distribución de $K$: Para encontrar la distribución de interés, en primer lugar tenga en cuenta que los valores de las series de interés seguir la exclusión-inclusión recursiva forma y modo que puede ser escrito de forma no recursiva como:

$$X_t = \sum_{\mathcal{A} \subseteq \{ 1, ..., t \}} (-1)^{|\mathcal{A}|-1} \prod_{j \in \mathcal{A}} U_j .$$

(El lector está invitado a verificar que esta forma satisface el recursiva forma especificada anteriormente.) Desde $X_0 < X_1 < X_2 < X_3 < \cdots$ (es decir, la sucesión es estrictamente creciente) tenemos:

$$F_K(k) = 1-\mathbb{P}(K(t) > k) = 1-\mathbb{P}(X_k \leqslant t) = 1-\mathbb{P}\Bigg( \sum_{\mathcal{A} \subseteq \{ 1, ..., k \}} (-1)^{|\mathcal{A}|-1} \prod_{j \in \mathcal{A}} U_j \leqslant t \Bigg).$$

Esta probabilidad es analíticamente complejo, pero es relativamente sencillo estimar mediante la simulación por $k$ uniforme de variables aleatorias. Usted puede hacer esto mediante la especificación directa de $X_k$ a través de su no-recursiva forma. Yo no soy consciente de que cualquier analíticas conocidas forma de esta distribución, pero tal vez a los demás en este sitio puede complementar este análisis con más conocimientos. Obviamente, una vez que se tiene la distribución de $K$, usted puede obtener algunas ideas sobre la suma de las funciones de la primera $K$ términos.

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