Muestre que los puntos en el plano se encuentran dentro del interior o en el límite de un triángulo con un área inferior a$4$

Question

"Considere la posibilidad de un número finito de puntos en el plano tales que, si hemos de elegir cualquiera de los tres puntos a,B,C entre ellos, el área del triángulo ABC es siempre menor que 1. Demostrar que todos estos puntos se encuentran en el interior o en el límite de un triángulo con área inferior a 4."

Yo estoy seguro de si yo sólo soy tonto, pero esto no tiene ningún sentido para mí. La pregunta dice claramente que se puede elegir entre CUALQUIERA de los 3 puntos: a,B,C, dentro de algunos triángulo (O en el límite de) con un área de menos de 4. Así que aquí es lo que no tiene sentido para mí: digamos que el triángulo que tiene un área de menos de 4 es el triángulo XYZ. Así que TODOS estos puntos podemos elegir "se encuentran en el interior o en la frontera del triángulo XYZ. Así que si puedo elegir ABC para ser XYZ, entonces tenemos un triángulo con área menor que 4, pero potencialmente mayor que 1. Así que no a la pregunta tipo de contradecirse a sí mismo? Debido a que todos los puntos se encuentran dentro del triángulo con área de menos de 4.

Answer 1

Creo que estás confundiendo una implicación con su opuesto. El problema te pide demostrar una implicación sobre un conjunto finito $S$ de los puntos en el plano. La hipótesis en este implicación es que, para cualquiera de los tres puntos de $A,B,C$$S$, el triángulo $\triangle ABC$ tiene menos de $1$. Voy a llamar a esta hipótesis de $H$ para el corto. La conclusión a la que se supone que deducir a partir de esta hipótesis es que el conjunto total $S$ se encuentra dentro de un triángulo de área de menos de $4$. Voy a llamar a esta conclusión $C$ para el corto. Por lo que se supone para demostrar la implicación $H\implies C$.

Has demostrado (por tomar $A,B,C$ muy cerca de las esquinas de un triángulo de área $4$) que es totalmente posible para $C$ a ser verdaderas al mismo tiempo $H$ es falso. Que refuta la implicación $C\implies H$. Pero entonces, ¿qué, no es la implicación de que se le de probar.

Answer 2

Reformular la pregunta:

Dado: que cualquier triángulo formado desde cualquier punto de $3$ % conjunto finitos $S$tiene un área de menos de $1$.

Demostración: que se puede elegir puntos de $X$, $Y$, $Z$ tal que

1) $S$ está dentro del triángulo formado por $X$, $Y$, $Z$

2) el triángulo formado por $X$, $Y$, $Z$ con área inferior a 4