Estoy trabajando con extensiones de campo (todas con la característica 0) y necesito mostrarlo:
$|\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}|=n,|\mathbb{Q}(b):\mathbb{Q}| =m$ y $\gcd(m,n)=1 \implies|\mathbb{Q}(ab):\mathbb{Q}|=mn$
Esto es lo que pensé: Sabemos que $\mathbb{Q}(a,b) = \mathbb{Q}(ab,a) = \mathbb{Q}(ab,b)$ y $|\mathbb{Q}(a,b):\mathbb{Q}|=mn$
Así que.., $$|\mathbb{Q}(a,b):\mathbb{Q}| = |\mathbb{Q}(ab,b):\mathbb{Q}| = |\mathbb{Q}(ab)(a):\mathbb{Q}(ab)|\cdot |\mathbb{Q}(ab):\mathbb{Q}|= n\cdot m $$
$\implies 1 = \frac{|\mathbb{Q}(a,b):\mathbb{Q}|}{|\mathbb{Q}(ab,a):\mathbb{Q}|} = \frac{n\cdot m}{|\mathbb{Q}(ab,a):\mathbb{Q}(ab)|\cdot |\mathbb{Q}(ab):\mathbb{Q}|}\implies |Q(ab):\mathbb{Q}| = \frac{n\cdot m}{|\mathbb{Q}(ab,a):\mathbb{Q}(ab)|}$
Ahora, como $$|\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}|=n \implies \deg(\operatorname{irr}(a,\mathbb{Q}))=n$$ tenemos que $$\deg(\operatorname{irr}(a,\mathbb{Q}(ab)))\leq n\implies |\mathbb{Q}(ab,a):\mathbb{Q}(ab)|\leq n$$
Por lo tanto, $|\mathbb{Q}(ab):\mathbb{Q}| = m\cdot \frac{n}{|\mathbb{Q}(ab,a):\mathbb{Q}(ab)|}= m \cdot k$ con $k \in \mathbb{Z}$ .
Por la misma lógica $|\mathbb{Q}(ab):\mathbb{Q}| = n \cdot t$ con $t \in \mathbb{Z}$
Así que $|\mathbb{Q}(a,b):\mathbb{Q}|$ es un múltiplo de $m$ y $n$ pero como son coprimas, el mínimo común múltiplo de ellas es su producto, que es $mn = |\mathbb{Q}(a,b):\mathbb{Q}|$ y como $\mathbb{Q}(ab) \subset \mathbb{Q}(a,b), |\mathbb{Q}(ab):\mathbb{Q}|\leq|\mathbb{Q}(a,b):\mathbb{Q}|$ , por lo que tenemos que $|\mathbb{Q}(ab):\mathbb{Q}|=mn$ $\blacksquare$
¿Hay algún error?
