Camino conectado cociente implica espacio camino conectado

Question

El siguiente es un problema ayerme cuestioné:

Que $X$ un espacio topológico y definir la relación de equivalencia $\sim$ dada por:

$$x\sim y \Leftrightarrow \textrm{ $x $ and $y $ can be connected with a continuous path.}$ $

Si $X/\sim$ es camino conectado, ¿es cierto que $X$ es camino conectado?

Pensé en esto que mucho ayer y todavía no pudo encontrar ninguna buena idea para probar o refutar esto.

Answer 1

Creo que la respuesta es no. Tomemos por ejemplo el subespacio $X$ $\mathbb{R}^2$ definido por $$ X = \{(x,\sen 1/x): x > 0\} \cup \{(0,y) : -1 \leq y \leq 1\}. $$ Este espacio tiene exactamente dos componentes de la ruta $$ A = \{(x,\sen 1/x): x > 0\} \text{ y } B = \{(0,y) : -1 \leq y \leq 1\}. $$ Por lo $X/\sim = \{A,B\}$. Deje $\pi: X \to X/\sim$ ser el cociente mapa. Supongamos $U$ es un subconjunto abierto de $X/\sim$ contiene $B$. A continuación, $\pi^{-1}(U)$ es un conjunto abierto de $X$ y, por lo tanto, $\pi^{-1}(U) \cap A \neq \emptyset$. Por lo tanto $A \in U$. Por otro lado, el conjunto de $\{A\}$ está abierto en $X/\sim$, ya que el $\pi^{-1}(\{A\}) = A$. Por lo tanto $X/\sim$ es el Sierpiński el espacio, es decir, su topología es $\{X/\sim, \emptyset, \{A\}\}$. Este espacio es el camino conectado.