Probar

Question

$a, b, c ∈ \mathbb{R}+.$

WLOG supone$a \leq b \leq c.$ Intenté la sustitución:$x=\frac{1} {1+a^2}, y=\frac{1} {1+b^2}, z=\frac{1} {1+c^2},$ así$x \geq y \geq z$ y$(1-x)+(1-y)+(1-z)=2 \to x+y+z=1.$

Queremos demostrar$ax+by+cz \leq \sqrt{2}.$ Esto se parece un poco a Cauchy-Schwarz, así que lo intenté:$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geq (ax+by+cz)^2.$ El problema se convierte en$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geq 2,$ desde$a,b,c,x,y,z>0.$

Expresando$a,b,c$ en términos de$x,y,z$:$(\frac {1}{x} + \frac {1}{y} + \frac {1}{z} - 3)(x^2+y^2+z^2)$

$= x+y+z+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{x}+\frac{x^2}{y}+\frac{z^2}{y}+\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{z}-3(x^2+y^2+z^2) \geq 2.$

$\to \frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{x}+\frac{x^2}{y}+\frac{z^2}{y}+\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{z}-3(x^2+y^2+z^2) \geq 1.$ Atrapado aquí. Pensando en usar AM-GM pero no estoy seguro de cómo. La ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Cauchy-Schwartz ... \begin{eqnarray*} \left( \frac{a}{\sqrt{1+a^2}} \frac{1}{\sqrt{1+a^2}} + \frac{b}{\sqrt{1+b^2}} \frac{1}{\sqrt{1+b^2}} + \frac{c}{\sqrt{1+c^2}} \frac{1}{\sqrt{1+c^2}} \right)^2 \\\leq \left( \frac{a^2}{1+a^2} + \frac{b^2}{1+b^2} +\frac{c^2}{1+c^2} \right) \left( \frac{1}{1+a^2} + \frac{1}{1+b^2} +\frac{1}{1+c^2} \right)= 2. \end {eqnarray *}

Answer 2

Deje$$B:=\frac{1} {1+a^2} + \frac{1} {1+b^2} + \frac{1} {1+c^2}$ $

De:$$A:=\frac{a^2} {1+a^2} + \frac{b^2} {1+b^2} + \frac{c^2} {1+c^2} = 2$ $

obtenemos$A+B =3$ así$B =1$.

Ahora por la desigualdad de Cauchy tenemos$$A\cdot B \geq \big(\underbrace{\frac{a} {1+a^2} + \frac{b} {1+b^2} + \frac{c} {1+c^2}}_{C}\big)^2$ $

Entonces tenemos$C^2\leq 2$ y hemos terminado.

Answer 3

Continuando desde donde te detuviste

Multiplica ambos lados por$xyz$ para borrar los denominadores. Luego, multiplique los primeros seis términos por$x+y+z=1$, mientras que el RHS con$(x+y+z)^2=1$ obtenga:

ps

Esta desigualdad es verdadera, ya que tenemos$$\sum_{\text{sym}}x^4y + \sum_{\text{sym}}x^3y^2 \ge 2\sum_{\text{cyc}}x^3yz + 2\sum_{\text{cyc}}x^2y^2z$ y$\sum_{\text{sym}}x^4y \ge 2\sum_{\text{cyc}}x^2y^2z$. Estos siguen sumando las desigualdades cíclicas AM-GM:

ps

$\sum_{\text{sym}}x^3y^2 \ge 2\sum_{\text{cyc}}x^3yz$ $$$x^4y + z^4y \ge 2x^2z^2y$ $

Answer 4

$$\sqrt2-\sum_{cyc}\frac{a}{1+a^2}=\sum_{cyc}\left(\frac{\sqrt2}{3}-\frac{a}{1+a^2}\right)=\sum_{cyc}\left(\frac{\sqrt2}{3}-\frac{a}{1+a^2}+\frac{1}{2\sqrt2}\left(\frac{2}{3}-\frac{a^2}{1+a^2}\right)\right)=$ $$$=\sum_{cyc}\frac{(a-\sqrt2)^2}{2\sqrt2(1+a^2)}\geq0.$ $

Answer 5

Let$a,b,c>0$$$\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}+\dfrac{c}{1+c^2}=2\rightarrow \dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}\leq \sqrt{2}$ $$$\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}=\left( 1-\dfrac{1}{1+a}\right) +\left( 1-\dfrac{1}{1+b}\right) +\left( 1-\dfrac{1}{1+c}\right) =$ $$$=3-\left( \dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\right)$ $$$\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}\leq 2\leftrightarrow 3-\left( \dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\right) \leq \sqrt{2}\leftrightarrow$ $$$\leftrightarrow \dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\geq 3-\sqrt{2}\leftrightarrow \dfrac{a}{a+a^2}+\dfrac{b}{b+b^2}+\dfrac{c}{c+c^2}\geq 3-\sqrt{2}\leftrightarrow$ $$$\leftrightarrow \dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}+\dfrac{c}{1+c^2}\geq \dfrac{a}{a+a^2}+\dfrac{b}{b+b^2}+\dfrac{c}{c+c^2}\geq 3-\sqrt{2}\leftrightarrow$ $$$\leftrightarrow 2\geq 3-\sqrt{2}\quad \text{(true)}$ $