¿Implica la función de sucesión un orden?

Question

Mi confusión es cómo pedir surge de la Axiomas de Peano (enlace wikipedia) .

Desde esta pregunta No estoy seguro de que "sucesor" signifique "mayor que". Parece que se podría tomar $\mathbf{0}$ y luego el sucesor podría ser simplemente (a grandes rasgos) "producir un nuevo elemento no visto antes" y luego (a través de la pregunta vinculada) simplemente nombrar estos elementos $1, 2, 3, ... $ . Desde una perspectiva externa parece bien asociar un ordenamiento a estos números, pero parece que se plantea la cuestión de si pedir es válido y lo que "significa" en AP.

Debo estar pasando por alto algo sencillo, porque llegar al concepto de pedir parece "obvio" pero no veo cómo surge de los axiomas dados.

Answer 1

Creo que en esta cuestión subyace la suposición de que el "orden" en AP se corresponde con la noción intuitiva de "magnitud". En particular, observo que el PO dice

No estoy seguro de que "sucesor" signifique "mayor que".

De hecho, esta es una muy buena observación. En general, el símbolo $ < $ no denota necesariamente una comparación de tallas y nuestra convención de leerlo en voz alta como "menos que" es probablemente una fuente de mucha confusión.

El símbolo $<$ significa "viene antes" (o, si se prefiere una sola palabra, "precede") - y nada más que eso. $a<b$ significa " $a$ viene antes que $b$ ". Esto no significa que $a$ es "más pequeño" que $b$ en cualquier sentido. Hay muchas estructuras ordenadas en las que el pensamiento de $<$ como indicador de tamaño es realmente poco útil y potencialmente engañoso; véase Campos que pueden ordenarse de más de una manera por ejemplo.

Este detalle es una fuente de confusión incluso en contextos elementales; los estudiantes suelen tener problemas con el lenguaje " $-5$ es menor que $-2$ ", porque "menos que" connota una comparación de magnitudes y todo lo que realmente queremos decir cuando escribimos " $-5<-2$ " es que $-5$ está a la izquierda de $-2$ en una recta numérica. Es únicamente una afirmación sobre el orden, y no tiene nada que ver con el tamaño.

Answer 2

Bueno, inmediatamente hay un orden parcial que se desprende de ello. Podemos decir que $x\preceq y$ si existe algún número entero no negativo $k$ tal que $s^k(x)=y.$ Demostrar que esto es transitivo y antisimétrico son tareas bastante sencillas. Si requerimos $k$ para ser un positivo entero, entonces se obtiene un orden parcial estricto $\prec,$ que en los números naturales se puede demostrar que es total. Por supuesto, eso es un poco deficiente. ¿Qué son los números enteros si no se sabe qué son los números naturales?

Mauro Allegranza menciona un enfoque que utiliza la aritmética de Peano en los comentarios anteriores , pero como la suma de Peano está definida recursivamente, necesitamos la inducción, por lo que necesitamos los números naturales.

Una forma de superar estos problemas es producir un modelo explícito de los números naturales, como el que se discute aquí . Sin embargo, dependiendo de los axiomas de la teoría de conjuntos que se den por sentados, es posible que no se pueda proceder de esta manera.

Para evitar esto, podemos empezar con la relación que consiste en todos los pares $\langle x,s(x)\rangle$ tal que $x$ es un elemento del conjunto de Peano en cuestión, entonces define $\prec$ para ser su cierre transitivo en dicho conjunto de Peano, entonces defina $\preceq$ sea el cierre reflexivo de $\prec$ en dicho conjunto de Peano. La parte más difícil es probar la totalidad de $\prec$ en el conjunto de Peano.

Answer 3

Muy bien, esta es una pregunta interesante que denota madurez matemática.

La respuesta limpia y aburrida es que PA no determina lo que significa el orden - nuestra lógica requeriría axiomas adicionales para tratar el orden.

La interesante pregunta de seguimiento: Qué axiomas podemos introducir que nos permitan hablar del orden habitual en los naturales.

Creo que la idea clave que se desprende de esto es la equivalencia entre un definición y axiomas . Para definir y tratar nuevos conceptos, necesitamos introducir nuevos axiomas que establezcan las reglas de las matemáticas con las que trabajamos.

Answer 4

La respuesta a mi pregunta del título, "¿Implica la función de sucesión un orden?", parece ser que sí.

Como dice Mauro ALLEGRANZA en un comentario:

$$ (x < y) \leftrightarrow \exists z(y = x + s(z)) $$

Esto funciona gracias a los axiomas

6. Para cada número natural $n$ , $S(n)$ es un número natural.
7. Para todos los números naturales $m$ y $n$ , $m = n$ si y sólo si $S(m) = S(n)$ .

Considere si fuera posible que algún número $a$ era el mismo que su sucesor: $a = S(a)$ . Entonces la relación anterior no se mantendría debido a una contradicción:

$$ (a < S(a)) \leftrightarrow \exists z(S(a) = a + S(z)) $$

Quizás pedir todavía podría salvarse (es decir, sin los dos axiomas anteriores) con una definición diferente para la relación, pero no estoy cualificado para especular.

Answer 5

El OP hizo referencia a un ejemplo explícito de una transformación de los números naturales (ya dados) que satisface los axiomas de Peano. Pero dada la función sucesora estándar $S: n \mapsto n+1$ en $\Bbb N$ Si $\beta$ es cualquier biyección de $\Bbb N$ entonces

$\quad \displaystyle \beta^{-1} \circ S \circ \beta: \Bbb N \to \Bbb N $

satisface los axiomas de Peano. Por lo tanto, se puede "renombrar algebraicamente" los elementos para obtener más transformaciones de Peano. (véase mi responder a ese ejemplo explícito).

La razón de ser de los axiomas es una forma abstracta/fundacional de "llegar a los números naturales", y la función sucesora lo hace "contando los números" uno a uno.

Para responder a la pregunta del título de la OP, sí:

Empezando por la función sucesora de Peano $S: \Bbb N \to \Bbb N$ (donde, en la puerta de salida $\Bbb N$ es un conjunto abstracto), se puede definir un endorelación $\rho$ en $\Bbb N$ que es un pedido total en $\Bbb N$ . Ahora está justificado el uso del símbolo $\le$ para la relación $\rho$ . Como siguiente paso fundacional se puede demostrar que $(\Bbb N, \le)$ es un conjunto bien ordenado.

El programa que se ha descrito en el párrafo anterior se puede llevar a cabo (en digamos el $\text{ZF}$ ) antes de definir la suma de los números naturales, a diferencia de la técnica utilizada en el artículo de la wiki Axiomas de Peano y comentado por Mauro ALLEGRANZA.

La etiqueta de la fundación del OP es apropiada aquí y han hecho una buena pregunta.