¿Es verdadera la siguiente desigualdad de suma?

Question

Ι tengo la sensación de que$$\sum_{m=1}^{N}\Big\lvert \sum_{k=0}^{\infty} \frac{m^{2k}}{(2k+1)!}(-1)^{k}\Big\rvert \geq C \sum_{m=1}^{N} \frac{1}{m} $$ Does it exist a $ n_o$ such that for every $ N \ geq n_0 $ lo anterior es cierto?

$$\sum_{m=1}^{N} \Big\lvert 1-\frac{m^2}{3!}+\frac{m^4}{5!}... \Big\rvert \geq C+\frac{C}{2}+\frac{C}{3}... + \frac{C}{N}$$ i feel that somehow terms will get canceled for big enough N, but i cant prove it!! ( $ m \ en N$) and $ 0 <C <1 $ constante.

esto surgió como parte del problema que estaba resolviendo. No tengo idea si la desigualdad anterior es verdadera, ¡no tengo ni idea de cómo abordarla!

Answer 1

La suma interna es$\sin m /m$ y

ps

Desde que converge la segunda serie en el RHS (por la prueba de Dirichlet) tenemos

ps

donde$$\sum_{m=1}^N \frac{|\sin m|}{m} \geqslant \sum_{m=1}^N \frac{|\sin m|^2}{m} = \frac{1}{2}\sum_{m=1}^N \frac{1}{m} - \sum_{m=1}^N \frac{\cos 2m}{2m}$ para suficientemente grande$$\sum_{m=1}^N \frac{|\sin m|}{m} \geqslant \frac{1}{2}\sum_{m=1}^N \frac{1}{m} - K,$ y su resultado se cumple para$K \approx -0.2603$.