¿Qué tiene de genial la compacidad local?

Question

A medida que estudio más la teoría algebraica de los números, escucho cada vez más a menudo sobre la compacidad local: campos localmente compactos , grupos topológicos compactos locales , Stone-Čech compactación de espacios localmente compactos etc., etc.

En un periódico, incluso leí eso probando lo que los personajes de $ \Bbb {Q_p, R}$ es trivial usando las propiedades de los espacios compactos locales.

Así que me pregunto, ¿cuáles son todas esas bonitas propiedades, y qué tipo de (contra)ejemplos debo tener en cuenta cuando pienso en la compacidad local?

Answer 1

Todo espacio Hausdorff localmente compacto es Tychonoff por lo que tiene "suficientes" funciones continuas. Esto se utiliza mucho. Un ejemplo destacado es la prueba de La dualidad de Gelfand : Si asociamos a un espacio de Hausdorff localmente compacto $X$ el $C^*$ -Álgebra $C(X)$ de funciones continuas complejas, entonces obtenemos una antiequivalencia de categorías entre espacios Hausdorff localmente compactos y conmutativos $C^*$ -(con morfismos adecuadamente definidos).

Técnico pero importante: Si $Y$ es localmente compacto, entonces para todos los espacios $X,Z$ el mapa $$C(X,C(Y,Z)) \to C(X \times Y,Z)$$ está bien definida y es biyectiva ( ley exponencial ). El caso especial $Y=[0,1]$ muestra que una homotopía entre mapas continuos $X \to Z$ es realmente un mapa de $X$ al espacio de la trayectoria $C(I,Z)$ .

Bastante relacionado con la ley exponencial: Si $Y$ es localmente compacto, entonces $Y \times -$ preserva los mapas cotizados (esto no es válido para los mapas arbitrarios $Y$ aunque muchos topólogos lo utilizan, quizás teniendo en mente una categoría conveniente de espacios).