Solución de $W_0(x)-W_{-1}(x)=1$

Question

En mi respuesta a esta pregunta, $W(.)$ Lambert función, me indirectamente mostró que $$W_0(x)-W_{-1}(x)=1 \implies x=-\frac {1} {e-1}\, \exp \left( \frac {-1} {e-1}\right)$ $ ¿Hay alguna manera de probar directamente ?

Editar después de Szeto la respuesta

De nuevo aquí, esto significa que $$W_0(x)=\frac{1}{1-e} \qquad \text{and} \qquad W_{-1}(x)=\frac{e}{1-e}$ $ , que no parecen hacer aparecer como valores especiales de Lambert función.

Answer 1

Utilizando la ecuación (1) (segunda página del documento)

Si $d=W0(z)-W{-1}(z)$, $$\frac{d}{e^{-d}-1}\text{exp}\left(\frac{d}{e^{-d}-1}\right)=z$ $

$d=1$ Y el resultado a continuación:

$$z=-\frac{e}{e-1}\text{exp}\left(\frac{e-1+1}{1-e}\right)=-\frac1{e-1} \text{exp}\left(\frac{1}{1-e}\right) $$

Prueba de la ecuación:

Tenga en cuenta $\text{(strange W)}_{mn}=W_m-W_n$(I spent a while to figure this out)