Notación : $f: M\rightarrow (\mathbb{R}^n,\|\
\|),\ f(i)=x_i$
$[xy]$ segmento de línea
$[xy)$ ray en $x$ y pasando a través de $y$
$(xy)$ línea que contenga $x,\ y$
$|xy|$ distancia entre el $x$ $y$
EXE : $n\neq 2$
Prueba : Paso 1 : Aquí $\Delta =[ x_1x_3x_4]$ es un
triángulo. Vamos a demostrar que un punto de $x_2$ no está en el triángulo
$\Delta$.
Si $x_2\in \Delta$, luego deje $$ [x_4x_2)\bigcap [x_1x_3] =\{z\}$$
Por la convexidad de la función de distancia $d(x)= |x_4x|$, desde
$|x_4x_1|,\ |x_4x_3|\leq 2$ ,$|x_4z|\leq 2$. Por supuesto, $z=
x_2$ and $|x_4z|=2$.
Por supuesto, de $x_i$, $z$ es un punto medio de $[x_1x_3]$. Si $z'$ es un
punto medio de la $[x_1x_4]$, luego
$$ 2=|zx_4| \leq |z'x_4|+|zz'|=\frac{3}{2}$ $ , de modo que es un
la contracción.
Paso 2 : $(x_ix_j)$ donde $x_i\en
\{x_1,x_3,x_4\}$ divides $\mathbb{R}^2$ en 7 regiones
$R_i$ se trunca cono cuyo vértice es $x_i$ $S_i$ es un cono
cuyo vértice es $x_i$.
1) $x_2$ no $S_1,\ S_3,\ S_4$ y sus límites :
Si $x_2$$S_1$, a continuación, vamos a utilizar la convexidad de la función
$d(x)=|xx_3|$ Recordar que $d(x_1)=2,\ d(x_4)=1$ Si definimos
$$ [x_2x_3]\bigcap (x_1x_4) =\{z\} $$
a continuación, $$ d(x_2)\geq d(z)\geq d(x_1)\geq 2 $$
Para $S_3,\ S_4$, podemos hacer el mismo argumento.
2) $x_2$ no $R_3$ : Si $x_2$$R_3$, y luego definir
$[x_2x_3]\bigcap [x_1x_4]=\{z\}$. Entonces $$ 2=|x_4x_2| \leq |zx_4| +
|zx_2| $$
de modo que $|zx_4| =1+\epsilon$. Por lo tanto $$ 2=|x_1x_3|\leq |zx_1| +|zx_3|
<2
$$ since $|zx_1|=1-\epsilon$. Contradicción.
3) $x_2$ no $R_1$ : Ahora, suponga que $x_2\in R_1$.
Si $[x_1 x_2]\bigcap [x_3x_4]=\{z\}$, $|x_1x_3|\leq |x_1z|
+|zx_3| <2$. Contradicción.
4) $x_2$ no $R_4$ :
Si $z,\ z'$ a mediados de los puntos en $[x_1x_3],\ [x_1x_4]$, $$2=|x_2x_4|\leq |x_2z| +|zz'| +|z'x_4|=|x_2z| +\frac{3}{2}$$
de modo que $|x_2z|\geq \frac{1}{2}$.
Desde $|x_1x_2|,\ |x_1z|,\ |x_1z'|$ 1 $x_2$ es en un lugar cerrado
la mitad de plano que contiene a $(zz'),\ x_1$.
Si $[zx_4]\bigcap [z'x_3]=\{w\}$, $[wzz'],\ [wx_4x_3]$
similar con un ratio de 2.
Desde $|zx_4|\leq \frac{3}{2}$, por lo que $$ |zw|\leq \frac{1}{2},\
|wx_4|\leq 1 $$
Si $x_2x_1x_2'x_3$ es paralelogramo, entonces $x_2'$ no $[zz'w]$.
En más, $|x_3x_2'|=1$, $x_2'$ no $[zx_3x_4]$. Para
$x_5$ tenemos $x_5'$, de modo que $[zx_2']\bigcap [z'x_5'] $ está en
$[zz'w]$.
Esto contradice el hecho de que $[x_2x_2']$ está en el límite de
unidad de pelota cuyo centro es $x_1$.
EXE : En $\mathbb{R}^3$, existe un ejemplo
:
$$ (0,1,1),\ (-1,1,1),\ (-1,0,1),\ (-\frac{1}{2},0,\frac{3}{2} ),\
(0,\frac{1}{2},\frac{3}{2} ) $$ in $\|\ \|_1$
EXE : En $\mathbb{R}^4$, existe un ejemplo :
$$ (0,0,0,0),\ (1,0,1,1),\ (2,-1,0,0),\ (2,0,0,-1),\
(1,1,-1,0) $$ in $\|\ \|_\infty$
