¿Por qué este ejemplo de cambio de base no funciona?

Question

Estoy aprendiendo sobre el cambio de base álgebra lineal, y tratando de llegar con un ejemplo para entenderlo. Pero de alguna manera, mi ejemplo a continuación no tiene sentido.

Deje $B_1 = ((1,0),(0,1))$ ser el estándar en $R^2$, e $v = (2,3)$ ser un vector.

Deje $B_2$ ser otra base de $R^2$, $B_2 = ((1,-1),(1,1))$. Mi comprensión es que, en este sistema, el mismo $v$ arriba, tiene la de coordinar $v = (-1/2, 5/2)$.

Vamos $T: R^2 \rightarrow R^2$, $T(x,y) = (x+2y, 3x - 2y)$.

Con $B_1$, $M(T) = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -2\\ \end{bmatrix}$, y $T(2,3) = M(T).v = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -2\\ \end{bmatrix} .\begin{bmatrix} 2 \\ 3\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 8\\ 0\\ \end{bmatrix}$

Con $B_2$, $M(T) = \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 5 & 1\\ \end{bmatrix}$, pero $T(-1/2,5/2) = (9/2,-13/2)$, y $M(T).v = \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 5 & 1\\ \end{bmatrix} .\begin{bmatrix} -1/2 \\ 5/2\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 8\\ 0\\ \end{bmatrix}$

No entiendo por qué en los cálculos usando $B_2$, $T(-1/2,5/2)$ no es igual a $M(T).v$, y el por qué de $M(T).v=\begin{bmatrix} 8\\ 0\\ \end{bmatrix}$. I was expecting that $M(T).v$ would give me something different, because we're using another basis. This "something" could then be "converted" back to $\begin{bmatrix} 8\\ 0\\ \end{bmatrix}$ en el estándar de la base.

Answer 1

Por lo que puedo ver, encontraste$M(T)$ en base$B_2$ al dejar que las columnas sean las imágenes$T(b_1),T(b_2)$ de los vectores base$b_i$ de$B_2$. como se expresa en la base$B_1$. Es necesario expresar los vectores$T(b_1),T(b_2)$ #% en base% #%, y usar eso como las columnas de$B_2$.

Answer 2

Dejar $P=\begin{pmatrix}1&1\\-1 &1\end{pmatrix}$. Esto cambia la base de$B_2$ a$B_1$.

Aviso$$P^{-1}\begin{pmatrix}1&2\\3&-2\end{pmatrix}P=[T]_{B_2}$ $.

Noté que olvidó multiplicar por$P^{-1}$. Necesitas:

ps

Te dejo este cálculo ...

Nota:$$P^{-1}\begin{pmatrix}-1&3\\5&1\end{pmatrix}$ $.

Answer 3

Lo que se desea es averiguar cómo $A$ verá como en la nueva base. La respuesta corta es que va a ser $B^{-1}AB$, donde $B=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1\\ \end{bmatrix}$.

Explicación: Deje $v=(2,3)^T$$x=(-1/2,5/2)^T$.

El vector $x$ de la nueva base es la misma como $v$ en la base, por lo $v=Bx$. Por lo tanto $x=B^{-1}v$. Que es: para la conversión de la nueva base $B_2$ para el estándar de base $B_1$,se multiplica por $B$, y para la conversión de la norma a las nuevas condiciones y se debe multiplicar por $B^{-1}$.

Ahora, lo que sucede a $A$ en la nueva base? Deje $u$ ser un vector en la norma, de manera que se $w=B^{-1}u$ es el vector correspondiente en la nueva base.

Que la matriz de $X$ debe ser aplicado a $w$ que corresponde a multiplicar $u$$A$? Para averiguar esto, vamos a hacer lo siguiente:

1. Mueva $w$ para el estándar de la base mediante la aplicación de $B$. [Llegamos $u$]

2. Ahora se aplican $A$; [conseguimos $Au$]

3. Ahora se aplican $B^{-1}$. [Obtenemos el vector en la nueva base correspondiente a $Au$.]

Por lo tanto, la matriz de $X$$B^{-1}AB$.

En lugar de eso, lo que he hecho es utilizar la matriz de $AB$, y luego multiplicado por $B^{-1}v$ (el vector en la nueva base) y esto, naturalmente, da $ABB^{-1}v=Av$, el vector en el estándar de base (en lugar de en la nueva base).