¿Cómo mostrar que$Z/12Z×Z/90Z×Z/25Z$ y$Z/100Z×Z/30Z×Z/9Z$ son isomorfos?

Question

Cómo mostrar que $G = \Bbb Z/12\Bbb Z \times \Bbb Z/90 \Bbb Z\times \Bbb Z/25 \Bbb Z$ $H = \Bbb Z/100 \Bbb Z \times \Bbb Z/30\Bbb Z\times \Bbb Z/9\Bbb Z$ son isomorph?

La forma en que me gustaría ir es el uso de la descomposición en grupos primarios:

Para G:

• $12 = 2^2 * 3$
• $90 = 3^2*2*5$
• $25 = 5^2$

Por lo $G \simeq G(2) \times G(3) \times G(5)$ con

• $G(2)= (\Bbb Z/2\Bbb Z) \times (\Bbb Z/2^2\Bbb Z)$
• $G(3)= (\Bbb Z/3\Bbb Z) \times (\Bbb Z/3^2\Bbb Z)$
• $G(5)= (\Bbb Z/5\Bbb Z) \times (\Bbb Z/5^2\Bbb Z)$

Para H:

• $100 = 5^2 * 2^2$
• $30 = 5*3*2$
• $9 = 3^2$

Por lo $H \simeq H(2) \times H(3) \times H(5)$ con

• $H(2)= (\Bbb Z/2\Bbb Z) \times (\Bbb Z/2^2\Bbb Z)$
• $H(3)= (\Bbb Z/3\Bbb Z) \times (\Bbb Z/3^2\Bbb Z)$
• $H(5)= (\Bbb Z/5\Bbb Z) \times (\Bbb Z/5^2\Bbb Z)$

Como $G$ $H$ tienen la misma descomposición son isomorph.

¿Es lo correcto? Es mejor/más rápido/más fácil manera de demostrarlo?

Answer 1

La prueba de uso de la primaria de la descomposición es fina y sistemática.

También puede utilizar el teorema del resto Chino recombinar los factores en el invariante factor de descomposición:

$ G = \Bbb Z/12\Bbb Z \times \Bbb Z/90 \Bbb Z\times \Bbb Z/25 \Bbb Z \cong \Bbb Z/3\Bbb Z \times \Bbb Z/4\Bbb Z \times \Bbb Z/9 \Bbb Z \times \Bbb Z/10 \Bbb Z\times \Bbb Z/25 \Bbb Z \cong \Bbb Z/30\Bbb Z\times \Bbb Z/900 \Bbb Z $

$ H = \Bbb Z/100 \Bbb Z \times \Bbb Z/30\Bbb Z\times \Bbb Z/9\Bbb Z \cong \Bbb Z/30\Bbb Z\times \Bbb Z/100 \Bbb Z \times \Bbb Z/9\Bbb Z \cong \Bbb Z/30\Bbb Z\times \Bbb Z/900 \Bbb Z $

Answer 2

Lo habría mostrado de esta manera.

\begin{align} \mathbb Z_{12} × \mathbb Z_{90} × \mathbb Z_{25} &\cong (\mathbb Z_4 \times \mathbb Z_3) \times (\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_9 \times \mathbb Z_5) \times (\mathbb Z_{25}) \\ &\cong (\mathbb Z_4 \times \mathbb Z_{25}) \times (\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_5) \times (\mathbb Z_9) \\ &\cong \mathbb Z_{100} × \mathbb Z_{30} × \mathbb Z_9 \end{align}