Listado de métodos para demostrar que dos grupos no son isomorfos

Question

Tema: enumerar los métodos para demostrar que dos grupos no son isomorfos.

Entiendo que por naturaleza, mi pregunta no tendrá una respuesta sino más bien una lista de respuestas. Sin embargo, creo que es interesante enumerar las propiedades que se pueden utilizar para demostrar que dos grupos no son isomorfos.

Empezando por algunos que se me vienen encima:

1. Uso de la cardinalidad : los dos grupos tienen cardenales diferentes.
2. Utilizar el orden de los elementos : un grupo tiene un elemento de un orden determinado y el segundo no.
3. De forma más general, utilizando el orden de los subgrupos
4. Utilizar las propiedades universales como la conmutatividad

Answer 1

Básicamente, cualquier propiedad que sea preservada por isomorfismos de grupo servirá. Esto incluye:

• orden de los elementos
• conmutatividad
• cantidad de subgrupos de un cierto orden (finito)
• cantidad de subgrupos Sylow p
• cardinalidad del grupo
• ser cíclico (2 grupos cíclicos de la misma cardinalidad son isomorfos)
• orden de los subgrupos

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Otro método (para grupos finitos) es mirar tablas de caracteres . Si dos grupos tienen tablas de caracteres diferentes, no pueden ser isomorfos. Obsérvese que lo contrario es falso: dos grupos pueden tener la misma tabla de caracteres sin ser isomorfos (Si no recuerdo mal $D_8$ y $Q_8$ son un contraejemplo al considerar la tabla de caracteres para las representaciones irreducibles complejas, pero ¡corrígeme si me equivoco!)

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En la práctica, uno puede fijarse en subgrupos especiales como el centro y el normalizador de un grupo, ya que éstos suelen ser más fáciles de entender que el grupo entero.

Answer 2

5. El grupo de automorfismo $Aut(G)$

6. Los grupos de cohomología $H^n(G,M)$ para $G$ -módulos $M$

7. Los grupos de homología $H_n(G,M)$ para $G$ -módulos $M$

8. Solvability, Supersolvability, Nilpotency

Answer 3

Aquí hay dos más:

• Número de generadores. Para ser más precisos: se puede demostrar que dos grupos no son isomorfos demostrando que uno de ellos está abarcado por un conjunto con un determinado cardinal, mientras que ningún conjunto con ese cardinal abarca al otro.
• Grupos de cocientes: si $G$ y $H$ son isomorfas y $N$ es un subgrupo normal de $G$ entonces tiene que haber un subgrupo normal $M$ de $H$ tal que $G/N\simeq H/M$ .

Answer 4

Aquí hay otro: si para los grupos $G,H$ , $G\simeq H$ si y sólo si $G-Set \simeq H-Set$ (equivalencia de categorías -aunque, por supuesto, aquí sólo se necesita la implicación fácil). Esto sugiere que podemos querer ver cómo $G$ acciones se comportan comparativamente a las de $H$ .

Así que un método sería : encontrar un $G$ -acción que no puede ser una $H$ -acción. Aunque no sé si eso se da a menudo...

Otros métodos consisten en observar la abelianización de los grupos no abelianos o, de forma similar, el subgrupo derivado. También es posible que se quiera observar el tamaño de las clases de conjugación. También se pueden observar las nociones de primer orden, como la divisibilidad.

Permítanme ahora dar no otros métodos, sino ejemplos en los que se pueden utilizar esos métodos, en los que no conozco ningún método más fácil:

-Mirando al centro: esto produce que $GL_n(\mathbb{R})$ y $GL_n(\mathbb{C})$ nunca son isomorfas para $n\geq 1$ (suponiendo que ya conoce el $n=1$ caso)

-Considerando los órdenes de los subgrupos: se obtiene que para un campo de característica $\neq 2$ , $GL_n(K)\simeq GL_m(K)$ sólo si $n=m$ (mira los subgrupos de exponente $2$ (¿ Cuáles son sus tallas ?)

-Mirando los tamaños de las clases de conjugación: si no recuerdo mal, esto implica que $\mathfrak{S}X$ y $\mathfrak{S}Y$ sólo puede ser isomorfo si $X$ y $Y$ tienen el mismo cardinal (o uno de ellos está vacío y el otro es un singleton) (esto es, por supuesto, trivial para las $X,Y$ de la cardinalidad, pero no tanto para el infinito $X,Y$ ). De hecho, si se observa el tamaño más pequeño de la clase de conjugación de cualquier elemento $\neq 1$ se encuentra $|X|$ para el infinito $X$ (ver aquí )

-Número de generadores: $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2$ no es isomorfo a $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$