Calcule el ángulo EZB en el siguiente dibujo.

Question

Nos dan los ángulos A y B (70 y 60 respectivamente). También A=. y E son puntos medios de AB y respectivamente.

También dibujé algunos círculos más grandes con radio AH y , tratando de ver algún patrón pero sin suerte. Geogebra muestra que el ángulo requerido es de 95 grados pero no tengo ninguna pista sobre cómo probarlo :( Obviamente todos los puntos medios del 4º lado del cuadrilátero, se encuentran en la misma línea pero no puedo encontrar sus propiedades.

La geometría no es mi punto fuerte.

...y aquí está la forma original:

Answer 1

Traslademos este problema al Plano de Coordenadas con $A$ en el origen, $AB$ en el $X$ eje, y $AB=2\alpha$ . Así, $A\equiv(0,0)$ y $B\equiv(2\alpha,0)$ . También $A\Gamma=B\Delta=r$ . Por último, dejemos que $\theta=\angle EZB$ $$$$ The equation of $ A\Gamma $ is $ y=x\tan70^{\c} $ and the equation of $ B\Delta $ is $ y=x\tan120^{\circ}-2\alpha\tan120^{\circ} $. $$$$ Así, $\Gamma\equiv (x_1,x_1\tan70^{\circ})$ y $\Delta\equiv (x_2,x_2\tan120^{\circ}-2\alpha\tan120^{\circ})$ . $$$$ Thus the midpoint $ E $ has coordinates $ \left(\dfrac{x_1+x_2}2, \dfrac{x_1\tan70^{\circ}+x_2\tan120^{\circ}-2\alpha\tan120^{\circ}}2\right)$.

$$$$ Also $$ r=x_1\sec70^{\circ}\Rightarrow x_1=r\cos70^{\circ} $$ and $$ r=x_2\sec120^{\circ}-2\alpha\sec120^{\circ}\Rightarrow x_2=(r+2\alpha\sec120^{\circ})\cos120^{\circ} $$ $$$$

Sustitución de $x_1,x_2$ con sus expresiones equivalentes (esto parece complicado al principio, pero todo se simplifica), $E$ tiene las coordenadas $$$$ $$ \left(\dfrac{r\cos70^{\circ}+(r+2\alpha\sec120^{\circ})\cos120^{\circ}}2, \dfrac{{r\cos70^{\circ}\tan70^{\circ}+(r+2\alpha\sec120^{\circ})\cos120^{\circ}\tan120^{\circ}-2\alpha\tan120^{\circ}}}2\right) $$ $$$$ Sobre la simplificación, $$E\equiv \left(\dfrac{r\cos70^{\circ}+r\cos120^{\circ}+2\alpha}2,\dfrac{r\sin70^{\circ}+r\sin120^{\circ}}2\right)$$ $$$$ Lastly since $ Z $ is the midpoint of $ AB $, $ Z $ has the coordinates $ (\alpha,0)$.

$$$$Thus, the slope of $ EZ $ is $$ \tan\theta=\left( \dfrac{\dfrac{r\sin70^{\circ}+r\sin120^{\circ}}2-0}{\dfrac{r\cos70^{\circ}+r\cos120^{\circ}+2\alpha}2-\alpha}\right) $$ $$$$ $$\Rightarrow\tan\theta=\left( \dfrac{{r\sin70^{\circ}+r\sin120^{\circ}}}{{r\cos70^{\circ}+r\cos120^{\circ}}}\right)$$ $$$$

$$\Rightarrow\theta=\tan^{-1}\left( \dfrac{{r\sin70^{\circ}+r\sin120^{\circ}}}{{r\cos70^{\circ}+r\cos120^{\circ}}}\right)$$ $$$$

$$=\tan^{-1}\left( \dfrac{{\sin70^{\circ}+\sin120^{\circ}}}{{\cos70^{\circ}+\cos120^{\circ}}}\right)$$ $$$$

$$=\tan^{-1}\left( \dfrac{{2\sin95^{\circ}\cos25^{\circ}}}{{2\cos95^{\circ}\cos25^{\circ}}}\right)=\tan^{-1}(\tan95^{\circ})$$ $$$$ Thus $ \theta=95^{\circ}$

Answer 2

Sugerencia alternativa: definir un plano complejo con $\,Z=0, B=1, A=-1, A\Gamma=B\Delta=\lambda \in \mathbb{R}^+\,$ .

Dejemos que $\,\alpha=70^\circ=\frac{7 \pi}{18}\,$ , $\,\beta=60^\circ=\frac{\pi}{3}\,$ entonces $\,\Gamma = -1 + \lambda e^{i\alpha}\,$ y $\,\Delta = 1 + \lambda e^{i(\pi - \beta)}\,$ .

El punto medio de $\Gamma\Delta$ es $\require{cancel}\,E=\frac{1}{2}(\Gamma+\Delta)=\frac{\lambda}{2}\left(\cancel{-1}+ e^{i\alpha}+\cancel{1}+e^{i (\pi-\beta)}\right)=\frac{\lambda}{2}\left( e^{i\,7\pi/18}+e^{i \,2 \pi / 3}\right)\,$ .

Ángulo $\,\angle EZB = \arg E\,$ y, a continuación, utilizando el identidades para sumas de senos/cosenos :

$$ \begin{align} \frac{2}{\lambda}\,E &\,=\, \left(\cos 70^\circ+\cos 120^\circ\right) + i \left(\sin 70^\circ+\sin 120^\circ\right) \\ &\,=\, 2 \cos \frac{70^\circ+120^\circ}{2} \cos \frac{120^\circ - 70^\circ}{2} + 2i \sin \frac{70^\circ+120^\circ}{2} \cos \frac{120^\circ - 70^\circ}{2} \\ &\,=\, 2 \cos 25^\circ \left( \cos 95^\circ + i \sin 95^\circ\right) \end{align} $$