Probabilidad de que llueva

Question

La probabilidad de que llueva el miércoles de esta semana es del 40%, mientras que la probabilidad de que llueva el jueves de esta semana es del 30%. Sin embargo, es el doble de probable que también llueva el jueves si ya llovió el miércoles. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva al menos uno de los dos días?

Aunque no estoy familiarizado con las probabilidades (solo he leído un poco), intentaré comenzar: La probabilidad de que llueva al menos uno de los dos días es 1 menos la probabilidad de que no llueva en ninguno de los dos días. Esto es 1-(1-40%)(1-30%)=58%

Pero esto solo es válido cuando los dos eventos son independientes. La probabilidad de que llueva el jueves no es independiente. ¿Cómo tengo en cuenta esto?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

El punto en las Probabilidades es el siguiente: Denotemos $W$ el evento de que llueve el miércoles, ${\bar W}$ el evento de que no lo hace. De manera similar con $T$ y $\bar T$ para el jueves.

Luego, $P(W) =0.4$.

Por marginalización, tienes $0.3 = P(T) = P(T|W) P(W) + P(T|{\bar W}) P({\bar W})$. Entonces, si estás interesado en eventos condicionales como $P(T|W)$, podrías usar esta fórmula de la siguiente manera. La información adicional es que $P(T|W) = 2 P(T|{\bar W})$. Por lo tanto, obtienes $0.3 = P(T|W) 0.4 + \frac12 P(T|W) 0.6$. Esto te permite calcular $P(T|W) = 3/7$.

Ahora la situación $P*$ de que llueva en cualquiera de los dos días se puede dividir en dos eventos disjuntos, así que

$P* = P(W) + P(T|{\bar W}) P({\bar W}) = P(W) + \frac12 P(T|W) P({\bar W}) = 0.4 + \frac12 \frac37 0.6 = \frac{37}{70} \simeq 0.528$

Answer 2

$p$ es la probabilidad de que llueva el jueves si ha llovido el miércoles. $q$ es la probabilidad de que llueva el jueves si no ha llovido el miércoles.

Dado que la probabilidad de que llueva el jueves es del $30\%$, tenemos $$ \frac25p+\frac35q=\frac3{10}\tag1 $$ Dado que es el doble de probable que llueva el jueves si ha llovido el miércoles, tenemos $$ \frac{p}{1-p}=2\frac{q}{1-q}\tag2 $$ Resolviendo $(1)$ y $(2)$ simultáneamente, obtenemos $$ p=\frac{17-\sqrt{193}}{8},q=\frac{-11+\sqrt{193}}{12}\tag3 $$ La probabilidad de que llueva al menos un día es el complemento de la probabilidad de que no llueva en ninguno de los dos días. Es decir, $$ 1-\frac35(1-q)=\frac{-3+\sqrt{193}}{20}\approx54.4622\%\tag4 $$

Answer 3

P(T)=0.3=P(W)*P(T|W)+(1-P(W))*P(T|W)/2=0.4*P(T|W)+0.6*P(T|W)/2=0.7*P(T|W)

P(T|W)=0.3/0.7

P(T|$\lnot$W)=P(T|W)/2=3/14

P($\lnot$W$\land$$\lnot$T)=P($\lnot$W)(1-P(T|$\lnot$W))=0.6(1-3/14)=33/70

Answer 4

La distribución conjunta completa de dos variables aleatorias de Bernouilli $W$, $T$ está dada por las cuatro probabilidades $P(W, T), P(W, \overline T), P(\overline W, \overline T), P(\overline W, T)$. Estos cuatro números siempre satisfacen la ecuación lineal:

$$P(W, T)+P(W, \overline T)+P(\overline W, \overline T)+P(\overline W, T)=1$$

Se te han dado otras tres ecuaciones lineales:

$$P(W,T)+P(W,\overline T)=0.4$$ $$P(W,T)+P(\overline W,T)=0.3$$ $$P(W,T)=0.24$$

Obtenemos la última ecuación sabiendo que $P(T|W)=0.6$, $P(W)=0.4$ y la identidad $P(A,B)=P(A|B)P(B)$.

Ahora tienes cuatro ecuaciones para cuatro incógnitas, que se pueden resolver no solo para responder a la pregunta, sino también para obtener toda la información posible sobre los eventos $W$ y $T y las relaciones entre ellos.

Answer 5

¡Reformulemos :)

La sesión de verano tiene $70$ días. Durante este periodo, se programan $28$ exámenes por la mañana y $21$ por la tarde. Sin embargo, los profesores prefieren programar días con exámenes dobles en lugar de extender su actividad en días más "simples".

Sean

$p$ el número de exámenes por la tarde programados en los $28$ días de exámenes por la mañana, y

$q$ el número de exámenes programados por la tarde en los otros $42$ días.

Sabemos que $p + q = 21$.

$p/28$ es la probabilidad de tener un examen por la tarde después de un examen por la mañana,

$q/42$ es la probabilidad de tener un examen por la tarde después de una mañana libre.

Entonces $p/28 = 2 \times q/42$ lo cual da como resultado $q = 9$

El número total de días de exámenes es entonces $28 + 9 = 37$.