¿Dónde está el error en mi razonamiento?

Question

Tengo una declaración que dice:

Si $a^2 + b^2 + c^2 = 2$ $(a + b + c)(1 + ab + bc + ac) = 3^2$

¿Cuál es el valor de $( a + b + c )$ ?

Mi razonamiento fue:

$a^2 + b^2 + c^2 = 2$, reescrita como:

1. $(a + b + c)^2 = 2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Ya, $(a + b + c)(1 + ab + bc + ac) = 3^2$

2. $(1 + ab + bc + ac) = \frac{9}{(a + b + c)}$

Ahora, sustituyendo en la 1.

3. Factorizar $(a + b + c)^2 = 2(1 + ab + ac + bc)$

4. La sustitución de $(a + b + c)^2 = \frac{18}{a + b + c}$

5. Multiplicando por $(a + b + c)$

6. $(a + b + c)^3 = 18$. Por lo tanto $a + b + c = \sqrt[3]{18}$. Ese es mi resultado.

Pero, el resultado correcto debería ser $4$, entonces ¿dónde está mi error ?

Answer 1

Tu trabajo es perfectamente correcto. Pero estoy bastante seguro de que malinterpretaste la pregunta original: debería haber$\color{green}{32}$, no$\color{red}{3^2}$, en los datos dados. Con ese valor, el mismo trabajo que hiciste arrojará$4$ como la respuesta final.

Answer 2

Supongamos$a^2+b^2+c^2=2$ y$(a+b+c)(1+ab+bc+ac)=k$. Luego, configurando$s=a+b+c$ y$q=ab+bc+ac$, obtenemos $$ s ^ 2 = 2 +2q = 2 (1 + q), \ qquad s (1 + q) = k $$ Por lo tanto$1+q=s^2/2$ y $$ s ^ 3 = 2k $$ para que$s=\sqrt[3]{2k}$. Si$s$ tiene que ser$4$, entonces$2k=64$, es decir,$k=32$.