Está bien, entonces sé que para valores positivos,$^{\infty}x$ converge a$-\frac{W(-\ln x)}{\ln x}$ para$e^{-e}\le x \le e^{\frac1e}$. Por encima de eso, diverge. Para valores positivos menores que$e^{-e}$, cualquier intento de evaluar la tetration infinita oscila entre dos valores. $^{\infty}0$ no está definido, pero$^{\infty}(-1) = -1$. A modo de experimentación, otros valores negativos de$^{\infty}x$ parecen convertirse rápidamente en valores complejos no convergentes. ¿Hay algún otro valor negativo para el cual la tetration infinita converja? Si no, ¿hay alguna prueba de que no existen otros valores?
Respuesta
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tom
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23
Hay otros valores negativos para que infinito tetration converge?
De verdad que no. Sin entrar en mucho detalle, el mapa del potencial para el infinito exponencial es:
$$\phi(z)=\exp(z/\exp(z))$$
Si el enchufe en el por encima de la parametrización de la unidad de círculo $\exp(i\cdot\theta)$$0\le\theta\le 2\pi$, usted conseguirá lo que se conoce como el de Concha Espina región de contorno en el plano Complejo. En Arce por ejemplo:
phi:=z->exp(z/exp(z));
complexplot(phi(exp(I*theta)), theta = 0 .. 2*Pi, scaling = restringido);
Shell (Shell-ordenar la fama) en su Tel. D. tesis demostró que la convergencia se produce sólo para $c$ dentro de esta región en el plano complejo. Alternativamente, si usted no desea comprobar en contra de esta región en el plano complejo, se puede comprobar que el inverso mapa del potencial (multiplicador) le envía en el interior del círculo unidad (que es crucial para la convergencia). Es decir, dada $c$ comprobar que:
$$t=|\phi^{-1}(c)|=|-W(-\log(c))|< 1$$
donde $W$ es la rama principal de la función de Lambert.
Baker y Rippon hizo más tarde el resultado más fuerte, demostrando que la convergencia se produce sólo si $t<1$ o $t=1$$t^n=1$.
Usted puede ver los de Concha Espina región aquí (rojo nephroid).
El valor (-1) es una especie de pícaro en el plano complejo y es el único valor fuera de esta región para que el infinito exponencial trivialmente converge a sí mismo, ya que ${^n}(-1)=-1$ todos los $n\in\mathbb{N}$.
