$\forall n \in \mathbb{N^*}$, demostrar que $|{\frac{\sqrt{n^2+2}}{2n} - \frac{1}{2}}| < \frac{1}{2n^2}$

Question

Que %#% $ #%

Demostrar que %#% $ #%

Indicación: Utilizar la relación: $$x_n = \frac{\sqrt{n^2+2}}{2n},n \in \mathbb{N^*} \ldots$,$$ |{x_n - \frac{1}{2}}|

Lo agradecería mucho si cualquier respuesta podría indicar una actitud heurística o general, uno debe tener cuando demostrar tal proposición.

Answer 1

Sugerencia: Llevar la expresión de la izquierda para el común denominador $2n$. ¡$$\left|\frac{\sqrt{n^2+2}-n}{2n}\right|. Ahora multiplicar arriba y abajo por $\sqrt{n^2+2}+n$. La parte superior simplifica mucho.

Answer 2

Observe que $(\sqrt{n^2+2}-n)(\sqrt{n^2+2}+n)=2$ y $\sqrt{n^2+2}+n>2n$, por lo tanto, $0

Answer 3

En primer lugar observamos que $\left|{\frac{\sqrt{n^2+2}}{2n} - \frac{1}{2}}\right| = {\frac{\sqrt{n^2+2}}{2n} - \frac{1}{2}}$ porque ${\frac{\sqrt{n^2+2}}{2n} - \frac{1}{2}}>0$. De hecho $\frac{\sqrt{n^2+2}}{2n}>\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{n^2+2}{n^2}>1 \Rightarrow 1+\frac{2}{n^2}>1$.

Ahora observamos que $\frac{\sqrt{n^2+2}}{2n} - \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{\frac{2}{n^2}+1}}{2} - \frac{1}{2}$ y de indicación $\sqrt{1+\gamma}