¿Tenemos

Question

Si pensamos en el determinante como un mapa multilínea del conjunto de$n$ - columnas vectores a$\mathbb{R}$, $$\det:\mathbb{R}^n\times\cdots\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},$ $, estoy en lo cierto al decir que$$ \det=e^1\wedge\cdots\wedge e^n, donde$\{e^i\}$ es la base dual a la base estándar de$\mathbb{R}^n$ y$\wedge$ es el producto de cuña ?

Creo que podemos probarlo expandiendo ambos lados, usando la fórmula de Leibniz para el determinante y la definición$$\omega\wedge\eta=\frac{(k+l)!}{k!l!}\rm{Alt}(\omega\otimes\eta) para el producto de cuña de$\omega\in\Lambda^k$,$\eta\in\Lambda^l$.

Answer 1

Recordar eso si $\dim(E) = n$ y $\dim(\Lambda^n(E))$ = 1.

Por lo tanto $\det$ y $e^1 \wedge \dots \wedge e^n$ son co-lineares. Desde que estoy de acuerdo (y lo hacen no cancelar) sobre la base del stardard de $\Bbb R^n$, son realmente iguales.