¿por qué no solo 2 gráficos para hacer atlas para esfera?

Question

En http://en.wikipedia.org/wiki/Manifold_(mathematics)#Construction , dice que se pueden usar 6 tablas para hacer un atlas para una esfera. Pero el texto muestra que tienes un gráfico para el hemisferio norte, y puedes hacer un cuadro similar para el hemisferio sur. Por lo tanto, estos dos cuadros cubren toda la esfera.

¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

El hemisferio norte y el hemisferio sur no cubrir la totalidad de la esfera. La esfera es $$\mathbb{S}^2=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+y^2+z^2=1\}.$$

Los hemisferios norte y sur, respectivamente, $$\mathbb{S}_N^2=\{(x,y,z)\in\mathbb{S}^2\mid z>0\},\qquad\mathbb{S}_S^2=\{(x,y,z)\in\mathbb{S}^2\mid z<0\}.$$ Estos pierdas el ecuador $\{(x,y,z)\in\mathbb{S}^2\mid z=0\}$. La adición de "oriente" y "occidente" hemisferios $$\mathbb{S}_W^2=\{(x,y,z)\in\mathbb{S}^2\mid x>0\},\qquad\mathbb{S}_E^2=\{(x,y,z)\in\mathbb{S}^2\mid x<0\}$$ todavía no consigue todo: nos faltan los puntos en el ecuador $(0,1,0)$$(0,-1,0)$. Por último, añadir los últimos dos hemisferios (oriente y occidente, sólo girado 90 grados) cubre la totalidad de la esfera.

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Esto plantea la pregunta, ¿por qué estamos definiendo nuestro hemisferios con $>$$<$? Tal vez en su lugar, podríamos utilizar$\leq$$\geq$, y esto nos permitiría cubrir la esfera con dos hemisferios?

La respuesta es que un gráfico de un colector debe ser un homeomorphism entre un abrir subconjunto del colector con un abrir subconjunto de $\mathbb{R}^n$. Los conjuntos $$\{(x,y,z)\in\mathbb{S}^2\mid z\geq 0\},\qquad\{(x,y,z)\in\mathbb{S}^2\mid z\leq 0\}$$ no está abierto en la topología de $\mathbb{S}^2$ (que es el subespacio de la topología heredada de $\mathbb{R}^3$). Así que no se pueden utilizar como coordinar los barrios en el colector de la estructura de $\mathbb{S}^2$.

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Se garantiza mencionar, sin embargo, que puede cubrir la esfera con sólo dos cartas, a través de la proyección estereográfica. Los dos subconjuntos abiertos de $\mathbb{S}^2$ actuando como nuestro coordinar los dominios son $$\mathbb{S}^2-\{(0,0,1)\},\qquad\mathbb{S}^2-\{(0,0,-1)\}$$ y para cada uno, se proyecto una línea desde el punto a del plano, que uno puede comprobar da un mapa continuo. Es tedioso (pero importante) ejercicio para demostrar que la buena estructura determinada por la proyección estereográfica es la misma que la de los hemisferios (es decir, son compatibles atlas).