¿Cuál es la probabilidad de que un pez dorado coma más de 2 gránulos?

Question

Yo esparcir 10 bolitas entre los 7 peces de colores en mi tanque. Suponiendo que cada pez tiene la misma probabilidad de obtener cualquier bolita, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de los peces de colores come más de 2 pellets?

Traté de resolver este problema por pedir a la inversa pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que no goldfish come más de 2 pellets? Y, a continuación, complementando la solución. Sin embargo, no pude encontrar cómo esta última pregunta es más fácil de resolver. Estoy pensando en el dibujo manual de las posibilidades, pero pensé que tomaría largos (7 es un montón de peces).

Answer 1

Deje $X_i$ el (al azar) número de pellets de la $i$-th pescado que comió. A continuación, $(X_1,X_2,\ldots, X_7)$ es un vector aleatorio que sigue que la distribución multinomial. Entonces: $$\mathbb{P}\left( X_1=k_1, X_2=k_2, \ldots, X_7=k_7 \right) = \frac{1}{7^{10}} \binom{10}{k_1,k_2,\ldots,k_7} [ k_1+k_2+\cdots+k_7 = 10 ]$$ El complemento de la probabilidad de que ningún pez se comió más de 2 pellets es: $$\begin{eqnarray} \mathbb{P}\left(X_1 \leqslant 2, \ldots, X_7 \leqslant 2\right) &=& \sum_{k_1=0}^2 \cdots \sum_{k_7=0}^2 \mathbb{P}\left( X_1=k_1, X_2=k_2, \ldots, X_7=k_7 \right)\\ &=& \binom{7}{5} \cdot \mathbb{P}\left(X_1=X_2=X_3=X_4=X_5=2,X_6=X_7=0\right) \\ && + \binom{7}{4,2,1} \cdot \mathbb{P}\left(X_1=X_2=X_3=X_4=2,X_5=X_6=1,X_7=0\right) \\ && + \binom{7}{3} \cdot \mathbb{P}\left(X_1=X_2=X_3=2,X_4=X_5=X_6=X_7=1\right) \\ &=& \binom{7}{5} \cdot \frac{1}{7^{10}} \frac{10!}{2!^5} + \binom{7}{4,2,1} \cdot \frac{1}{7^{10}} \frac{10!}{2!^4} + \binom{7}{3} \cdot \frac{1}{7^{10}} \frac{10!}{2!^3}\\ &=& \frac{858600}{7^8} \approx 0.148938 \end{eqnarray}$$ Por lo tanto la probabilidad de que al menos uno de los peces comían más de 2 pellets: $$p = \frac{4906201}{5764801} \approx 0.851062$$

Answer 2

Pensar en los peces de colores distintos, y de que los gránulos distintos, y asumir que todos los gránulos de comer. Colocar las bolitas en una en una. Cualquiera de los peces es igual de probable que obtener el pellet como cualquier otro. Así que hay $7^{10}$ posible los patrones de alimentación (o, en mathspeak, las funciones de la serie de pellets para el conjunto de peces), todos igualmente probables.

Contamos el número de estas formas en la que no hay peces de colores come más de $2$ pellets. Como estaba sugiriendo, vamos a por la probabilidad del complemento.

Hay tres diferentes maneras en que se puede imaginar no hay peces de colores comer más de lo $2$ pellets: (i) todos los peces se presenta al menos uno de pellets. A continuación, $4$ de los peces que comen $1$ pellet de cada uno, y el resto de $3$ peces comen $2$ pellets de cada uno; (ii) exactamente $1$ pez come $0$ pellets. A continuación, $2$ peces comen $1$ pellet de cada, e $4$ peces comen $2$; (iii) exactamente $2$ peces comen $0$ pellets. A continuación, cada uno de los peces que llega a comer hay que comer $2$ pellets.

Softonic cuenta de (i), (ii) y (iii). Para (i) los peces que comen $1$ cada uno puede ser seleccionado en $\binom{7}{4}$ maneras. Para cada uno de tal elección, el conjunto de pellets que llegar a comer puede ser elegido en $\binom{10}{4}$ maneras. Y una vez hecho esto, los pellets pueden ser distribuidos en $4!$ maneras. Para cada una de estas formas, la línea de la suerte de los peces que consigue $2$ cada uno, decir en el orden de su número de Seguro Social (SIN). El pescado con el más pequeño PECADO puede ser asignado pellets en $\binom{6}{2}$ maneras. Para cada una de estas formas, el pescado con el segundo más pequeño PECADO puede ser asignado pellets en $\binom{4}{2}$ maneras. Y ahora se acabó. Así la cuenta de (i) es $$\binom{7}{4}\binom{10}{4}(4!)\binom{6}{2}\binom{4}{2}.$$

Para (ii), la mala suerte de pescado puede ser elegido en $\binom{7}{1}$ maneras. El resto del cálculo de la siguiente manera similar al cálculo de (i). Tenemos $$\binom{7}{1}\binom{6}{2}\binom{10}{2}(2!)\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}.$$

Para (iii), el recuento es más simple. La mala suerte de peces que no consigue nada puede ser elegido en $\binom{7}{2}$ maneras. Ahora la línea de la suerte de los peces en el fin del PECADO. El uno con el más pequeño PECADO puede ser dado de pellets en $\binom{10}{2}$ maneras. Para cada una de estas formas, el pescado con el segundo más pequeño PECADO puede llegar a su pellets en $\binom{8}{2}$ formas, y así sucesivamente. Por lo que el número de patrones de tipo (iii) es $$\binom{7}{2}\binom{10}{2}\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}.$$

Answer 3

En primer lugar, contar el número total de maneras en que los peces pueden comer los pellets (suponga que todos se comen). Para ello, vamos a construir todos multisets de cardinalidad 10, elegidos a partir de un conjunto finito de cardinalidad 7. (Hemos de mantener la elección de los peces de 10 veces, con ninguna restricción sobre cómo muchas veces ($\leq10$) que podemos elegir cada uno de los peces.) El número de tales distintas multisets es $C(7+10-1,10)=8008$.

Ahora sigue con su idea de contar el número de maneras en que no hay peces come más de 2 pellets. Si escribimos $p_i$ para el número de pellets comidos por los peces$_i$, luego $$p_1+p_2+\cdots+p_7=10,$$ with the restriction that $0\leq p_i\leq 2$ for each $i$. Podemos contar con estos de la siguiente manera: la clave es considerar cómo muchos de los peces obtienen el 2 de pellets.

Caso 1: Cinco peces comen 2 de pellets, dos peces comen 0 pellets. Esto puede suceder $C(7,2)=21$ maneras.

Caso 2: Cuatro peces comen 2 de pellets, dos peces comen 1 bolita, un pez come 0 pellets. Esto puede suceder $7\times C(6,2)=105$ maneras.

Caso 3: Tres peces comen 2 de pellets, cuatro peces comen 1 de pellets. Esto puede suceder $C(7,3)=35$ maneras.

Estas son las únicas posibilidades, por lo que hay un total de 161 maneras de que ningún pez hace más de 2 pellets. Por lo que la probabilidad de que al menos uno de los peces hace más que 2 es $\frac{8008-161}{8008}\simeq 0.98$.

De lado: El número total de maneras en que el pescado se puede comer los pellets no $7^{10}$. Este resultado podría ser estimada de la siguiente manera: De cuántas maneras puede la primera bolita ser comido? Ans: 7. ... De cuántas maneras puede el 10 de pellet de ser comido? Ans: 7. ¿De cuántas maneras distintas en total? Ans: $7\times\cdots\times7=7^{10}$.

Pero esto no puede distinguir entre estos dos resultados: (i) Pescado$_1$ come pellets 1-9, pescados$_2$ come pellet 10; (ii) Pescado$_1$ come pellets 2-10, pescados$_2$ come pellet 1.

Pero estos resultados son idénticos en términos de la pregunta, ya que ambos corresponden a peces "$_1$ come nueve pellets, de pescado$_2$ come una pastilla". Por lo tanto $7^{10}$ incluye un montón de múltiples contar de el mismo resultado.

Otro paréntesis: Esto está mal! 8008 es, de hecho, el número de diferentes formas posibles en que los pellets pueden ser comido (asumiendo distintos de los peces), pero estos resultados no son igualmente probables. $7^{10}$ es el número de resultados equiprobables.

Answer 4

El número total de maneras de asignar $10$ pellets de a $7$ peces de colores es sólo $7^{10}$; esa es la parte fácil.

Ahora, vamos a $N_{k,m_0,m_1}$ el número de maneras de asignar $k$ pellets tal que $m_0$ peces de colores han comido no pellets, $m_1$ peces de colores han comido $1$ pellet de cada uno, y el resto han comido $2$ pellets de cada uno. Cuando una nueva bolita es lanzado en, no se $m_0$ maneras de elegir un pez de colores para pasar de $0$ $1$pellets, y $m_1$ maneras de elegir un pez de colores para pasar de $1$ $2$pellets, y por lo que la recursividad es $$N_{k,m_0,m_1} = (m_0+1)N_{k-1,m_0+1,m_1-1} + (m_1+1)N_{k-1,m_0,m_1+1},$$ con condición inicial $N_{0,7,0}=1$ (e $N_{0,m_0,m_1}=0$ lo contrario). Utilizando el código de Python,

def N(k, m0, m1):
  if k==0:
    if m0==7 and m1==0: return 1
    else: return 0
  else: return (m0+1) * N(k-1, m0+1, m1-1) + (m1+1) * N(k-1, m0, m1+1)

for m0 in xrange(0, 8):
  for m1 in xrange(0, 8):
    if N(10, m0, m1)>0: print m0, m1, N(10, m0, m1)

resultados en la salida:

0 4 15876000
1 2 23814000
2 0 2381400

Así que hay $15876000+23814000+2381400=42071400$ formas de asignar los pellets de modo que no hay peces de colores hace más de $2$, y la correspondiente probabilidad es $$\frac{42071400}{7^{10}}=\frac{858600}{5764801}=0.148938...$$ Por otra parte, dado que no hay peces de colores se comió más de $2$, la probabilidad de que todos los goldfish son alimentados es exactamente $20/53$; la probabilidad de que exactamente uno es antes de alimentarse es $30/53$; y la probabilidad de que exactamente dos son sin comer es $3/53$.

Answer 5

Como he explicado en Cómo calcular el número de casos favorables, me gusta el uso de coeficientes multinomiales para mantener este tipo de cálculos en línea recta. Los números de abajo para los tres casos, ya han sido encontrados por otros que han contestado a esta pregunta. Sin embargo, me gusta las fórmulas siguientes, ya que no requieren mucho pensamiento; son bastante automático.

$${7\choose 0,4,3}\times {10\choose 2,2,2,1,1,1,1}=15876000.$$ $${7\choose 1,2,4}\times {10\choose 2,2,2,2,1,1,0}=23814000.$$ $${7\choose 2,0,5}\times {10\choose 2,2,2,2,2,0,0}=2381400.$$