Esta es la primera vez que veo un problema como este. No tengo ni idea de qué hacer. Una guía detallada sería de gran ayuda.
¿Para qué valores de P converge la integral?
ps
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Felix Marin
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$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ Con $\ds{\Lambda > 0}$: \begin{align} &\color{#c00000}{% \int_{0}^{2\Lambda}\pars{{1 \over \root{x^{2} + 4}} - {P \over x + 2}}\,\dd x} ={\rm arcsinh}\pars{\Lambda} - P\ln\pars{\Lambda + 1} \\[3mm]&=\ln\pars{\Lambda + \root{\Lambda^{2} + 1}} - P\ln\pars{\Lambda + 1} =\ln\pars{\Lambda + \root{\Lambda^{2} + 1} \over \bracks{\Lambda + 1}^{P}} \end{align}
Al $\ds{\Lambda \gg 1}$, es claro que:
- $\ds{\large P \not= 1}$: La integral diverge como $\ds{\ln\pars{2\Lambda^{1 - P}}}$.
- $\ds{\large P = 1}$: La integral converge a $\ds{\ln\pars{2}}$.
Oli
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89
Deje que nuestra función se $f(x)$. La función de $f(x)$ se comporta muy bien en el intervalo de $[0,1]$, por lo que es suficiente para encontrar $p$ tal que $\int_1^\infty f(x)\,dx$ converge.
Si $p\le 0$, en Comparación muestra la divergencia. Así, podemos asumir $p\gt 0$.
Reescribir $f(x)$$\frac{x+2-p\sqrt{x^2+4}}{(x+2)\sqrt{x^2+4}}$, y, a continuación, racionalizar el numerador multiplicando arriba y abajo por la $x+2+p\sqrt{x^2+4}$. Tenemos $$f(x)=\frac{x^2(1-p^2) +4x+4(1-p^2)}{(x+2)\sqrt{x^2+4}\left(x+2+\sqrt{x^2+4}\right)}.$$
Si $p=1$,$f(x)\le \frac{4x}{2x^3}=\frac{2}{x^2}$. Desde $\int_1^\infty \frac{2}{x^2}\,dx$ converge, lo hace $\int_1^\infty f(x)\,dx$.
Si $0\lt p\lt 1$ o $p\gt 1$, entonces nuestra integral diverge. Hay dos casos a considerar.
Supongamos que $0\lt p\lt 1$. Deje $g(x)=\frac{1}{x}$. Uno puede mostrar que $$\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1-p^2}{2}.$$ Desde $\int_1^\infty g(x)\,dx$ diverge, entonces no $\int_1^\infty f(x)\,dx$. El argumento de $p\gt 1$ es similar.
