Integración la UE

Question

Evalúa$\int_0^{2\pi}e^{e^{ix}}dx$.

Intento:$e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$, por lo que podemos escribir$$e^{e^{ix}}=e^{\cos{x}}e^{i\sin{x}}$ $ y luego usar la misma identidad para obtener$$e^{\cos{x}}(\cos{\sin{x}}+i\sin{\sin{x}})$ $ pero esto parece imposible de integrar. Alternativamente, podríamos intentar sustituir$z=e^{ix}$, pero parece que ambos límites de integración son$1$.

Answer 1

Cuando sustituyes$z = e^{ix}$, la integral se convierte en una integral sobre el círculo unitario.

ps

La fórmula integral de Cauchy hace que la evaluación de esa integral sea muy fácil.

Answer 2

Vale la pena señalar que no es necesario utilizar análisis complejos para esto (aunque estoy seguro de que en su clase eso es lo que esperan). Usa la serie de potencias para$e^y$ para$y = e^{ix}$ y tienes que$$\int_0^{2\pi} e^{e^{ix}}\,dx = \int_0^{2\pi} \sum_{n=0}^{\infty} {e^{inx} \over n!}\,dx$ $ El$n!$ en el denominador asegura que podemos intercambiar integración y suma para que esto sea igual a$$\sum_{n = 0}^{\infty} {1 \over n!} \int_0^{2\pi} e^{inx} \, dx$ $ Solo el término$n = 0$ se integra con un valor distinto de cero, por lo que el resultado es solo$2\pi$.