¿Por qué cadenas unidimensionales, pero no capas/membranas de dimensiones superiores?

Question

Una forma en que he visto para motivar la teoría de cuerdas es 'generalizar' la acción de una partícula puntual relativista, resultando en la acción Nambu-Goto. Sin embargo, una vez que ves cómo hacer esta 'generalización', se vuelve obvio cómo escribir la acción, no solo para una cuerda, sino también para variedades de dimensiones superiores. De hecho, Becker-Becker-Schwarz (la principal fuente de la que estoy aprendiendo) realmente lo hacen. Pero (hasta donde he leído), simplemente escriben la acción y no hacen nada más con ella.

Mi pregunta es: ¿qué sucede cuando seguimos el mismo camino que la teoría de cuerdas, pero reemplazando una cuerda con una 2-variedad, siendo el ejemplo más simple la 2-esfera, una "cáscara/membrana"? Suponiendo 3 dimensiones espaciales, esta es la variedad de mayor dimensión que podemos considerar (porque no permitimos variedades no compactas). Además, solo hay una variedad compacta de dimensión 1; sin embargo, hay infinitas variedades compactas de dimensión 2, lo que podría hacer la teoría mucho más rica (y probablemente mucho más difícil). Por ejemplo, en la teoría de cuerdas, estamos limitados a $S^1$ (si insistes en no tener fronteras), pero si permitimos 2 dimensiones, podríamos considerar la esfera, el toro, etc.

Porque parece que este camino nunca se presenta (de hecho, ni siquiera he oído hablar de él), presumiría que algo sale mal. Entonces, ¿qué exactamente sale mal?

Answer 1

Existe una teoría clásica1 de membranas (relativistas) de $p$ dimensiones para cualquier número entero no negativo $p$. Estos objetos membranosos clásicos aparecen en la formulación no perturbativa completa de la teoría de cuerdas.

El problema surge si se intenta cuantizar una membrana (en un sentido cuantizado por primera vez) utilizando métodos estándar de cuantización perturbativa, los cuales han sido aplicados con éxito a partículas puntuales de $0$ dimensiones y cuerdas de $1$ dimensión. Hasta ahora, este programa ha fracasado para membranas con dimensión interna $p\geq 2$. Ver por ejemplo Ref. 1 y Ref. 2. De manera intuitiva, el problema es que las membranas pueden desarrollar picos/tubos que no cuestan energía.

Nicolai et al. han dado posteriormente una interpretación cuantizada por segunda vez de membranas dentro de la teoría M(atrix). Ver por ejemplo Ref. 3.

Referencias:

1. B. de Wit, J. Hoppe y H. Nicolai. Sobre la Mecánica Cuántica de las Supermembranas, Nucl. Phys. B305 (1988) 545.

2. B. de Wit, W. Lüscher y H. Nicolai, La supermembrana es inestable, Nucl. Phys. B320 (1989) 135.

3. H. Nicolai y R. Helling, Supermembranas y Teoría M(atrix), Conferencias en la Escuela de Primavera de Trieste (1998). (Mención especial a: alexarvanitakis.)

---

1 Aquí la palabra clásica significa $\hbar=0$.

Answer 2

Tal vez debería recordarse que a finales de los años 90 no solo se vio la especulación sobre M(atrix), sino también la observación de que la mayoría, si no todos, de las branas en la teoría de cuerdas/M, al menos en lo que respecta a su "teoría de volumen mundial", tienen una descripción cuántica en términos de dualidad AdS-CFT.

En particular, se supone que la M2-brane cuántica (que es la super-membrana en el espacio-tiempo de 11 dimensiones que se menciona en otro lugar en este hilo) debe ser descrita por la dualidad AdS4-CFT3. De manera similar, se supone que la M5-brane cuántica está dada por la AdS7-CFT6, y así sucesivamente.

En este contexto, aquí hay algo para tener en cuenta: según (Witten 98) en lo que respecta a los bloques conformales en el lado de CFT, AdS/CFT está completamente controlado (solo) por el sector de Chern-Simons de dimensiones superiores dentro de la teoría de la supergravedad de dimensiones superiores. Por ejemplo, por el término de Chern-Simons de 7 dimensiones que permanece del término de CS de supergravedad de 11 dimensiones después de la compactificación en la 4-esfera. Además, bajo esta identificación, se supone que el CFT en el volumen mundial de la brana está relacionado con la teoría CS de dimensiones superiores en una analogía directa sobre cómo el modelo ordinario de WZW está relacionado con la teoría ordinaria de Chern-Simons bajo la influyente correspondencia CS-WZW.

Así que desde esta perspectiva de Chern-Simons/WZW en AdS/CFT de (Witten 98) uno puede esperar que todas las branas tengan descripciones cuánticas holográficas como "modelos WZW de dimensiones superiores". Pero desde (Henneaux-Mezincescu 85) es "algo claro" que la descripción del modelo sigma de Green-Schwarz de todas o la mayoría de las super $p$-branas de la teoría de cuerdas/M son de "tipo WZW de dimensiones superiores" en cierto sentido.

Con coautores recientemente hemos ampliado un poco esta perspectiva en arXiv:1308.5264, mostrando que de hecho todas las super $p$-branas en particular también aquellas que contienen campos de multiplete tensorial (como la M5 y las D$p$s) son en un sentido sistemático y preciso teorías WZW de dimensiones superiores que son teorías de tipo Chern-Simons de frontera.

Daniel Freed ha estado recientemente amplificando este tipo de perspectiva en vista de la teorema de hipótesis de cobordismo, ver

• Daniel Freed, 4-3-2 8-7-6, charla en ASPECTS de Topología, Oxford, diciembre de 2012 (pdf)

Supongo que en conclusión solo estoy tratando de decir: desde AdS/CFT sabemos bastante más sobre la cuantización de todas o al menos muchas de las branas de dimensiones superiores en la teoría de cuerdas/M. Al menos en principio. Queda trabajo por hacer.