¿Por qué una singularidad triple aislada de Gorenstein tiene una forma canónica (3, 0) en la singularidad?

Question

Estoy tratando de leer una física de papel, y cuando se habla de racional, clasificados, Gorenstein, aislado tres veces singularidades dicen:

"Aquí gradual significa que la singularidad debe tener un $\mathbb{C}^*$ acción, y Gorenstein significa que hay un canónica bien definidas $(3, 0)$ forma en la singularidad, por último racional significa que el peso de la $(3, 0)$ formulario de debajo de la $\mathbb{C}^∗$ acción es positivo".

Yo estoy luchando para ver cómo estas condiciones de seguir a partir de las definiciones de lo racional y Gorenstein que conozco y amo. Sé que la canónica gavilla es invertible en un Gorenstein variedad; pero no veo la manera de que le da un $(3, 0)$ formulario.

Answer 1

El Gorenstein condición puede ser expresada en diferentes idiomas dependiendo de si usted lo mira desde el álgebra conmutativa punto de vista, o de la geometría algebraica punto de vista.

A partir de la geometría algebraica punto de vista, la Gorenstein condición significa que la canónica gavilla es invertible (es una línea de paquete). Si nos fijamos en la parte suave de nuestra variedad, la canónica gavilla está representada por un alto $(3, 0)$ formulario, que no desapareciendo en todas partes, podemos denotar como $\Omega$.

La condición racional, también tiene muchas de las caracterizaciones, que puede ser definido mediante la resolución, etc. Desde nuestra variedad es Gorenstein, también puede ser expresada mediante la condición de que la integral$$\int \Omega \wedge \overline{\Omega} < \infty.$$This condition is satisfied if $\Omega$ has positive scaling under the $\mathbb{C}^\times$-acción.

Tengo que confesar que yo todavía no pueden derivar de la relación precisa entre la condición de un presunto $\mathbb C^{\times}$-acción y tener racional singularidades. Una forma de obtener un ejemplo de una singularidad aislada en un $3$veces con un $\mathbb C^{\times}$-acción es tomar el afín de cono sobre una superficie lisa. Empecé a pensar a través de las propiedades de estos ejemplos para ver lo que estaba pasando, pero no a resolver todavía. Tal vez usted puede?

El racional de la condición puede ser definido por ningún aislado de la singularidad de utilizar la resolución. Si la singularidad tiene un $\mathbb{C}^\times$-acción y la singularidad es Gorenstein, la racional, la condición puede ser comprobada mediante el signo de los pesos de los que el generador de la canónica de la gavilla, es decir, si el peso de $\Omega$ es positivo, la singularidad es racional.

Answer 2

Deje $X$ ser el tres veces, deje $x$ ser el punto singular, y deje $U = X \setminus \{x\}.$ Deje $\omega_X$ ser la canónica paquete en la $X$. A continuación, $(\omega_X)_{| U} = \Omega^3_U,$ desde $U$ es suave (por supuesto de $x$ es una singularidad aislada).

Si $j: U \to X$ es la inclusión, a continuación, contigüidad entre el $j^*$ (es decir, la restricción a $U$) y $j_*$ da un canónica de morfismos $\omega_X \to j_*j^*\omega_X = j_*\Omega^3_U$. Ahora $\omega_X$ es localmente libre (de rango), y $X$ es Gorenstein, por lo tanto Cohen--Macaulay, por lo tanto $S_2$, por lo que este morfismos es un isomorfismo. (Desde $X$$S_2$, cualquier localmente libre gavilla$X$$S_2$, e $S_2$ coherente gavillas se caracteriza por $j_*j^*\mathcal F \to F$ es un isomorfismo siempre $j$ es una inmersión cuyo complemento es en codimension $ > 1$.)

Por lo tanto $\omega_X = j_*\Omega^3_U$. Si reducimos $X$ $x$ lo suficiente como para asegurarse de que $\omega_X$ es gratis (y no sólo a nivel local libre) de rango uno, a continuación, podemos elegir una generación global de la sección $\omega$, que, por definición, de $j_*$ es una sección global de $\Omega^3_U$$U$. Que es su $3$-forma.

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Tengo que confesar que yo todavía no pueden derivar de la relación precisa entre la condición de un presunto $\mathbb C^{\times}$-acción y tener racional singularidades. Una forma de obtener un ejemplo de una singularidad aislada en un $3$veces con un $\mathbb C^{\times}$-acción es tomar el afín de cono sobre una superficie lisa. Empecé a pensar a través de las propiedades de estos ejemplos para ver lo que estaba pasando, pero no a resolver todavía. Tal vez usted puede?