Cómo evaluar la integral:$\int\ln x\;\sin^{-1} x\, \operatorname d\!x$?

Question

¿Puede la siguiente integral integrada por partes?
ps

Answer 1

La fórmula de integración por partes

$$\int u(x)\underset{dv}{\underbrace{v^{\prime }(x)dx}}=u(x)v(x)-\int v(x) \underset{du}{\underbrace{u^{\prime }(x)dx}}.$$

Si aplicamos la LIATE la regla para

$$\int \ln x\arcsin x\,dx,$$

debemos elegir

$$u =\ln x,\quad dv=\arcsin x\,dx.$$

Normalmente hay una elección de los términos de $u,v'$ de el integrando $uv'$ que facilita la integración mucho más fácil. Sin embargo, en el presente caso, la otra opción $u=\arcsin x,v'=\ln x$ conduce a las integrales de dificultades similares.

$$\begin{eqnarray*} I &=&\int \ln x\arcsin x\,dx, \qquad \text{(}v =\int \arcsin x\,dx\quad \text{see evaluation below)} \\ &=&\left( \ln x\right) \left( x\arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}\right) -\int \frac{ 1}{x}\left( x\arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}\right) \,dx \\ &=&\left( \ln x\right) \left( x\arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}\right) -\int \arcsin x\,dx-\int \frac{1}{x}\sqrt{1-x^{2}}\,dx \\ &&\text{(see evaluation of the last integral below)} \\ &=&\left( \ln x\right) \left( x\arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}\right) -\left( \sqrt{1-x^{2}}+x\arcsin x\right) \\ &&-\sqrt{1-x^{2}}-\frac{1}{2}\ln \frac{\sqrt{1-x^{2}}-1}{\sqrt{1-x^{2}}+1}+C. \\ &=&\left( -1+\ln x\right) \left( x\arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}\right) -\sqrt{ 1-x^{2}} -\frac{1}{2}\ln \frac{\sqrt{1-x^{2}}-1}{\sqrt{1-x^{2}}+1}+C. \end{eqnarray*}$$

• Evaluación de $\int \arcsin x\,dx$ por sustitución $$\begin{eqnarray*} \int \arcsin x\,dx &=&\int u\cos u\,du,\quad u=\arcsin x \\ &=&\cos u+u\sin u \\ &=&\sqrt{1-x^{2}}+x\arcsin x+C. \end{eqnarray*}$$
• Evaluación de $\int \frac{1}{x}\sqrt{1-x^{2}}\,dx$ por sustitución y fracciones parciales $$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x}\sqrt{1-x^{2}}\,dx &=&-\int \frac{u^{2}}{1-u^{2}}\,du,\qquad u=\sqrt{1-x^{2}} \\ &=&u+\frac{1}{2}\ln \left( u-1\right) -\frac{1}{2}\ln \left( u+1\right) \\ &=&u+\frac{1}{2}\ln \frac{u-1}{u+1} \\ &=&\sqrt{1-x^{2}}+\frac{1}{2}\ln \frac{\sqrt{1-x^{2}}-1}{\sqrt{1-x^{2}}+1}+C. \end{eqnarray*}$$

Answer 2

Siguiendo la sugerencia de JM, es posible que desee probar, una vez más integrando por partes, que$$\int\log x\,dx=x\log x-x+C\,\,,\,\,C=\,\,\text{a constant}$ $ y quizás también tenga en cuenta que$$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx=-\frac{1}{2}\int\frac{-2x}{\sqrt{1-x^2}}dx$ $

Answer 3

Sea I = ∫ ln x * sen−1 x dx,

= x(ln x - 1) * arcsen x - ∫ x(ln x - 1) * 1/√(1 – x^2) dx

= x(ln x - 1) * arcsen x - ∫(ln x - 1) * x / √(1 – x^2) dx

= x(ln x - 1) * arcsen x + (ln x - 1) * √(1 – x^2) – ∫ (1/x) * √(1 – x^2) dx

Llamar a esta última integral I1.

Poner u = x^2; entonces du/dx = 2x

∴ I1 = ∫ (1/(2u)) * √(1 – u) * du/dx dx

Poner u = 1 – v^2, v ≥ 0; entonces du/dv = -2v

∴ I1 = ½ ∫ 1/(1 – v^2) * (-2v^2) dv

v^2 / (v^2 – 1) = (v^2 – 1 + 1) / (v^2 – 1) = 1 + 1 / (v^2 – 1)

= 1 + ½ (1/(v – 1) - 1/(v + 1))

Así I1 = v + ½ ln (A * (v – 1) / (v + 1)), donde a es Una constante arbitraria

= √(1 – u) + ½ ln (A * (√(1 – u) – 1) / (√(1 – u) + 1)),

= √(1 – x^2) + ½ ln (A * (√(1 – x^2) – 1) / (√(1 – x^2) + 1)),

Agregue esto a las otras partes, y listo.

Yo al principio pensaba que no se podía hacer en funciones elementales; pero ahí estamos!)