Algoritmo para encontrar las raíces exactas de polinomios de alto orden solubles?

Question

No es posible determinar generalmente las raíces de un polinomio cuyo grado es mayor que 4 en términos de raíces y operaciones básicas. Pero escuché que es posible dar un criterio para determinar si un polinomio tiene una solución de ese tipo.

Por ejemplo, Wikipedia dice que las raíces de un polinomio de grado $5$ son expresables en términos de raíces y operaciones básicas, si se puede representar en la forma

$$x^5 + \frac{5\mu^4(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1}x + \frac{4\mu^5(2\nu + 1)(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1} = 0,$$

donde $\mu$ y $\nu$ son números racionales.

Dado el caso de que las raíces del polinomio son expresables de esa manera, ¿es posible dar un algoritmo que calcule la solución en esa forma?

No soy un experto en ese tema, solo un estudiante interesado en matemáticas.

Answer 1

Sí, se llama Teoría de Galois.

Answer 2

Sí, suponiendo que exista una expresión para una raíz, hay un algoritmo simple que la encontrará: definir un orden en todas esas expresiones (por ejemplo, un orden léxico) y probar cada una hasta que encuentres una raíz del polinomio de entrada.

Answer 3

Aunque uno no puede expresar los términos de polinomios de grado 5 o superior con operaciones básicas y raíces (Abel-Ruffini), sí es posible calcular explícitamente las raíces de polinomios de grado cinco y superiores si se utilizan otras herramientas.

Ver esta pregunta de MO.